Я часто использовал термин «среднее квадратичное отклонение» для обозначения меры погрешности в теории или на множестве измерений, но точное определение этого понятия пока не дано. Здесь подходящее место устранить это упущение.
Предположим, у нас есть набор результатов измерения, обозначенных x1,x2,x3 и т. д. И пусть у нас есть способ приписать каждому измерению погрешность. Если, например, все xi получены при измерении определенной величины, то можно предположить, что среднее арифметическое значений х; и есть «правильное» значение, и пусть это значение равно X. Тогда погрешности равны х1 - X, х2-X, х3-X и т. д. Обозначим погрешности через r1, r2, r3 и т. д.
Приведем другой пример. Пусть xi- это значения долготы Меркурия, вычисленные на несколько различных моментов по птолемеевой теории Меркурия. Современная теория движения Меркурия несравнимо точнее теории Птолемея, и можно считать, что погрешности, которые мы снова назовем r1, r2, r3 и т. д., равны разности значений, полученным по двум этим теориям.
Чтобы вычислить среднее квадратичное отклонение, мы сначала находим квадраты погрешностей. Квадраты равны r12, r22, r32 и т. д. Затем мы находим среднее арифметическое значение величин r12, r22, r32 и т. д. Наконец, из полученного среднего значения мы извлекаем квадратный корень. Значение квадратного корня и есть величина среднего квадратичного отклонения. Среднее квадратичное отклонение мы обозначаем s.
В большинстве случаев примерно треть погрешностей r12, r22, r32 и т. д. оказывается больше s, а примерно две трети оказываются меньше. Это и послужило основанием для того приблизительного определения, каким я несколько раз пользовался в основном тексте.
Во многих местах в этой книге я вычислял наблюдаемую величину с использованием современной теории, а затем называл это вычисленное значение «правильным» или «верным» значением рассматриваемой величины. Если в вычисления, проводимые в соответствии с современной теорией, мы будем включать разумные оценки векового ускорения движения Луны по ее орбите и вращения Земли вокруг своей оси, то мы имеем веские основания считать, что погрешностями в вычисленных таким образом величинах можно пренебречь по сравнению с погрешностями древних наблюдений, подлинных или сфабрикованных. Поэтому для целей, преследуемых в нашей книге, допустимо рассматривать эти вычисленные величины как «правильные» значения.
Во многих случаях, вычисляя вероятность того, что некоторый определенный результат мог явиться результатом случайных погрешностей наблюдения, я считал, что в наблюдении не было источников никаких других погрешностей, кроме случайных. Это не совсем точно, но адекватно нашим целям, за исключением, быть может, нескольких мест, которые я явно оговорил. Например, если наблюдатель измеряет склонение, то он имеет систематическую погрешность в широте и, возможно, им были допущены погрешности при калибровке шкалы измерения. Размеры этих погрешностей не должны превышать нескольких минут дуги, поэтому такими погрешностями можно пренебречь при рассмотрении, например, погрешности, полученной Птолемеем при измерении положения Луны 1 октября 135 г. (см. раздел VIII.5). Напомним, что эта погрешность составила 41°.
Я также предполагал, что случайные погрешности подчиняются так называемому нормальному закону распределения погрешностей. Это не совсем верно, но ясно, что точные величины погрешностей, вытекающие из этого предположения, не имеют значения для наших целей, поскольку вероятность нам достаточно оценить с точностью до порядка.