2. Соотношение между двумя эксцентриситетами

 

На основании предыдущего раздела мы можем взглянуть на птолемеево изучение Меркурия с новой точки зрения. С этой же точки зрения полезно посмотреть и на Венеру, и на внешние планеты. Как мы помним, первые десять наблюдений Меркурия Птолемею были нужны лишь для определения положения апогея в различное время. Забудем сейчас о том, что он плохо определил положение апогея. Отвлечемся также и от того, что у геоцентрической орбиты Меркурия нет той оси симметрии, о которой говорит Птолемей. Давайте примем и его идею об оси симметрии, и определенное им положение апогея и сосредоточимся на том, что из этого следует.

Сперва Птолемей использует наблюдение, проведенное в тот момент, когда точка В находится в той точке круга деферента, которую Птолемей считает положением апогея. Затем он использует наблюдение, во время которого точка В находилась в диаметрально противоположной точке деферента. Конфигурация показана на рис. Х.5. Во избежание многословности в дальнейшем я не повторяю, что точка В находилась в такой-то точке деферента, а говорю просто, что наблюдения проведены в апогее или в перигее, хотя, строго говоря, это неверно. Кроме того, я буду говорить, что существует ось симметрии. Надеюсь, эти слова не введут читателя в заблуждение.

На рис. Х.5 для обоих наблюдений Меркурий находится в наибольшей элонгации. Например, в наблюдении, проведенном в апогее А, Меркурий находился в наибольшей западной элонгации от Солнца. Поскольку точка А лежит на оси симметрии, то наибольшая восточная элонгация будет таких же размеров. Следовательно, угол, стягиваемый эпициклом, в два раза больше наибольшей элонгации в этом наблюдении. Таким образом, в апогее эпицикл стягивает угол, равный 38;06 градуса. Аналогичными рассуждениями получим, что в перигее эпицикл стягивает угол, равный 46;30 градуса.

Стягиваемый эпициклом угол в два раза больше угла, синус которого равен r/R (R - это расстояние от точки Е до точки А или до точки G, в зависимости от того, какой случай рассматривается, а г - это радиус эпицикла). Величина r для обоих наблюдений одинаковая, поэтому наблюдения дают разность расстояний ЕА и EG. Половина этой разности равна расстоянию от точки Ё до точки, лежащей посередине между точками А и G. Я буду называть это расстояние «эксцентриситетом расстояния»; для определения этой величины нам достаточно знать расстояния, а колебание значений истинной долготы около значения средней долготы нам здесь не потребуется.

После двух наблюдений, показанных на рис. Х.5, Птолемей использует два наблюдения, во время которых центр эпицикла находился в одной и той же точке. Иллюстрацией этих наблюдений служит рис. Х.6. По этим наблюдениям можно получить разницу между средней долготой точки В и ее истинной долготой, если положение точки соответствует α=90° [1]). В данном положении 2α равно 180°, т. е. sin 2α=0. Такое положение находится посередине между положениями апогея и перигея.

Запишем уравнение центра в таком виде:

е_с=Λ sin α+K sin 2α.

Второй член в правой части равен нулю, поскольку для той точки, в которой проведены наблюдения, sin 2α==0. Тогда из наблюдений определяем коэффициент Λ при sin α. Я буду называть Λ «эксцентриситетом долготы»; он определяется по отклонению истинной долготы от средней.

Мы знаем, что деферент на самом деле должен быть эллипсом, поэтому эксцентриситет расстояния должен быть равен половине эксцентриситета долготы. В начале главы Х.6 «Синтаксиса» Птолемей пишет: «Для трех других планет - Марса, Юпитера и Сатурна - мы получили, что одна и та же теория движения подходит всем трем, и это та же самая теория, какую мы получили для Венеры. То есть центром круга эксцентра, который несет центр эпицикла, является точка, находящаяся посередине между центром эклиптики и точкой, вокруг которой равномерно вращается эпицикл. Это происходит потому, что для каждой из этих планет разность, полученная из наибольшего отклонения относительно эклиптики, в два раза больше разности, получающейся из попятного движения на наибольшем и наименьшем расстояниях эпицикла» [2]).

Для Меркурия мы нашли «эксцентриситет расстояния» из изучения наибольшей элонгации в апогее и перигее. То же самое сделаем и для Венеры. У внешних планет Марса, Юпитера и Сатурна наибольшей элонгации нет. Однако у них есть попятное движение. Описание этого интересного явления было дано в разделе I.5 [3]). Отрезки попятного движения, как и наибольшая элонгация, зависят от того, насколько далеко находится центр эпицикла. Поэтому, когда Птолемей говорит о «разности, получающейся из попятного движения», он, очевидно, имеет и виду то, что я назвал «эксцентриситетом расстояния». Аналогично «разность, полученная из наибольшего отклонения относительно эклиптики», по всей видимости то, что я назвал «эксцентриситетом долготы». Если такая интерпретация правильная, то Птолемей говорит о том, что для Венеры и внешних планет «эксцентриситет долготы» в два раза больше «эксцентриситета расстояния». Это, конечно, лучше, чем брать их равными, но, как мы увидим в дальнейшем, тоже не очень точно.

Уравнение (XI.2) говорит о том, что «эксцентриситет долготы» в модели экванта равен (е₁+е₂) на рис. IV.4 это будет расстоянием от точки Е до точки D. Кроме того, на рисунке видно, что расстояние от точки Е до точки А равно (l+e₁), а расстояние от точки Е до точки G равно (1-е₁). Следовательно, е₁ равно «эксцентриситету расстояния». И если это равно половине «эксцентриситета долготы», то, очевидно, получаем е₁=е₂=е.

Как мы видели в разделе IV.5, у модели экванта восемь главных параметров: а - долгота апогея, e₁ - первый эксцентриситет, е₂ - второй эксцентриситет, r - радиус эпицикла, L₀ - средняя долгота в некоторую эпоху, n - скорость изменения средней долготы, γ₀- аномалия в некоторую эпоху, γ' - скорость изменения аномалии.

Если знать эти параметры, то величины L_P и γ получаем из соотношений

L_P = L₀ + n(t-t₀),

γ = γ₀ + γ'(t-t₀)                                                                                                          (XI.7)

Эти уравнения совпадают с уравнениями (IV.9), и мы их здесь повторили лишь для удобства чтения. Символом t₀ обозначена эпоха, в которую даны параметры L₀ и γ₀.

Кроме того, мы знаем, что имеется зависимость между параметрами L_P, L_Θ и γ. Для Венеры;

L_P = L_Θ.                                                                                                                    (XI.8)

Для внешних планет

L_P = L_Θ + γ.                                                                                                              (XI.9)

Уравнения (XI.8) и (XI.9) сокращают на два число параметров, поскольку L_Θ известна из теории Солнца и ее не надо снова определять для теории планеты. Другими словами, мы считаем параметрами γ и γ'. Если они известны, то L₀ и «можно найти из уравнения (XI.9) для внешних планет. Для Венеры L₀ и n можно найти из уравнения (XI.8) независимо от того, знаем мы значения γ₀ и γ' или нет.

Таким образом, у модели экванта только шесть параметров, которые надо найти из наблюдений планеты. Это шесть параметров, оставшихся после исключения из их полного числа параметров L₀ и n. Если, кроме того, наложить условие е₁=е₂=е, то останется только пять параметров, Но при изучении движения Венеры и внешних планет Птолемей такого условия не накладывает. У него этот результат получается из анализа наблюдений.