6. Модель Птолемея для внешних планет

 

Хотя для Марса, Юпитера и Сатурна Птолемей также использует модель экванта (рис. IV.4), но в его трактовке этой модели применительно к внешним планетам есть три существенных отличия от трактовки для случая Венеры.

Во-первых, Птолемей «доказывает», что апогей Меркурия движется со скоростью 1° в столетие, и без дальнейших хлопот использует это значение для всех остальных планет. Аналогично, он «доказывает», что два эксцентриситета в модели Венеры равны, а для остальных планет он применяет это равенство без всяких обсуждений.

Во-вторых, средняя долгота внешней планеты связана со средней долготой Солнца уравнением (XI.9), а для Венеры используется уравнение (XI.8).

В-третьих, под наибольшей элонгацией для внешней планеты и под наибольшей элонгацией для Венеры понимают разные вещи. Для Венеры максимум равен примерно 48°, а для внешней планеты 180°. Условие, при котором элонгация равна 180°, обычно называют противостоянием; это значит, что планета и среднее Солнце находятся в противоположных от Земли сторонах.

Пусть λ_P обозначает геоцентрическую долготу внешней планеты, а Dp обозначает ее элонгацию. Определение D_P у Птолемея аналогично определению D_♀- и D_♀, т. е.

D_P = λ_P- L_Θ.                                                                                                              (XI. 13)

Если D_P=180°, я буду говорить, что планета находится в «среднем противостоянии».

Указанные различия немедленно приводят к нескольким следствиям. Свое изучение Венеры Птолемей начинает с предположения, что эксцентриситеты е₁ и e₂ могут различаться, и, таким образом, из анализа наблюдений ему надо искать шесть параметров. Для внешних планет он с самого начала предполагает, что e₁=e₂=e. И тогда для каждой внешней планеты ему надо найти только пять параметров.

Другое следствие состоит в том, что внешняя планета в действительности находится в перигее, если она находится в среднем противостоянии. Если посмотреть на рис. IV.4, изображающий модель экванта, то получим, что планета Р находится одновременно в положении среднего противостояния и в той точке эпицикла, которая ближе всего к Земле. Другими словами, в то время, когда точки Р, Е и среднее Солнце лежат на одной прямой, то и точка В лежит на этой прямой. Мне такое утверждение не кажется очевидным. Птолемей доказывает его как теорему в главе Х.6 «Синтаксиса». В другой работе [АРО, с. 445] я привел это доказательство Птолемея в общих чертах [1]).

Поскольку в момент среднего противостояния точки В, Р и Е лежат на одной прямой, то. в этот момент радиус эпицикла направлен прямо на Землю. А значит, из среднего противостояния радиус эпицикла для внешней планеты найти нельзя, хотя радиус эпицикла Венеры из наибольшей элонгации найти можно. С другой стороны, условия противостояния чувствительны к изменению аномалии, а значит, воспользовавшись обратной зависимостью, мы сможем определить аномалию в момент среднего противостояния.

Итак, по среднему противостоянию мы можем определить не те же самые параметры, которые определяются из наибольшей элонгации Венеры. Из наибольшей элонгации Венеры можно найти долготу апогея, эксцентриситет и радиус эпицикла. Из среднего противостояния для внешних планет мы находим долготу апогея, эксцентриситет и аномалию.

Со всеми внешними планетами Птолемей обходится абсолютно одинаково. По этой причине я приведу лишь его трактовку движения Марса.

Птолемей начинает с трех наблюдений среднего противостояния, всех, якобы проведенных им самим. Описание наблюдений он дает в главе Х.7 «Синтаксиса», по всей видимости, в одном-единственном предложении [2]): «Первое мы наблюдали на 15-м году Адриана через 1 равноденственный час после полуночи 26 и 27 египетского месяца тиби в 21 градусе Близнецов; второе - на 19-м году Адриана за 3 часа до полуночи б и 7 дня египетского месяца фармути в 28;50 градусах Льва; третье - на 2-м году Антонина за 2 часа до полуночи 12 и 13 дня египетского месяца эпифи в 2;34 градусах Стрельца».

Говоря современным языком, мы получаем такие противостояния:

1) в 01 час 15 декабря 130 г., долгота Марса была равна 81 градусу;

2) в 21 час 21 февраля 135 г., долгота Марса была равна 148;50 градуса; 3) в 22 часа 27 мая 139 г., долгота Марса была равна 242.;34 градуса. Г

Таблица   XI.3

Средние противостояния внешних планет, якобы наблюдавшиеся Птолемеем

 

Данные из этих наблюдений и из соответствующих наблюдений Юпитера и Сатурна собраны в таблице XI.3. Следует сделать лишь несколько замечаний. Птолемей говорит, что наблюдения Юпитера, и Сатурна были проведены с помощью астролябии, а о наблюдениях Марса он этого не говорит; возможно, этому упущению не надо придавать значения. В наблюдении Сатурна от 26 марта 127 г. Птолемей опускает час, но, как показывают его вычисления, он имел в виду 18 часов. Для большинства наблюдений Птолемей не говорит, пользуется ли он ночными часами, или это часы в нашем понимании этого слова («обычные», или равноденственные, часы), но его вычисления показывают, что подразумевает он обычные часы.

Мы должны рассмотреть, каким образом можно было провести такие наблюдения. Наблюдатель должен иметь представление о том, когда наступит противостояние. За достаточный промежуток времени до ожидаемого момента он измеряет долготу планеты, вычисляет среднюю долготу Солнца на момент наблюдения и находит элонгацию D_P. Если наблюдатель был достаточно точен в своих действиях, то планета еще не будет находиться в противостоянии. Если это так, то он проводит дополнительные наблюдения до тех пор, пока не убедится, что планета прошла противостояние. По моментам наблюдений до и после противостояния путем интерполяции он получает время и обстоятельства противостояния. И на самом деле, из сказанного Птолемеем о противостоянии 3 июня 133 г. вытекает, что момент времени и долготу Сатурна для этого противостояния он получил по наблюдениям, проведенным до и после времени, данного в описании.

Предположим, что значения долгот, полученные из наблюдений, округлялись до ближайшего кратного 5'. Долгота, найденная интерполяцией, в общем случае не должна быть кратна 5'. Поэтому, хотя большая часть долгот в таблице XI.3 и дается с точностью, недостижимой в наблюдениях, само по себе это еще не означает подделку. Но это не означает и то, что наблюдения являются подлинными. При подделке наблюдений Птолемей должен был использовать те же основные приемы. Момент противостояния не может быть получен из формулы. Подделывая наблюдения, Птолемей должен был приблизительно определить время наблюдения, вычислить λ_P и L_Θ и отсюда получить значения D_P. И так он должен был повторять до тех пор, пока не получил бы моментов времени по обе стороны от противостояния, и в конце концов оценить сфабрикованное время, значения λ_P и D_P путем интерполяции.

Для каждой планеты Птолемей по трем противостояниям находит долготу апогея а, эксцентриситет е и аномалию γ₃ в момент третьего противостояния. Но это невозможно. Если мы можем найти γ₃, мы также должны уметь находить γ₁ аномалию в момент первого противостояния. Подобное утверждение объясняется тем, что с астрономической точки зрения направление течения времени неважно и не может быть принципиального различия между первым и последним наблюдениями [3]). Поэтому, если мы можем найти значения а, е и γ₃, то мы также можем найти γ₁. Математическими методами определить четыре параметра по трем наблюдениям невозможно, а это значит, что мы не можем определить значения параметров а, е и γ₃ только по трем наблюдениям, не имея никакой дополнительной информации.

А что же сделал Птолемей на самом деле? Он воспользовался, не привлекая внимания к этому факту, значением γ'. Птолемей описывает (мы рассматривали это в разделе Х.5), как угловая скорость γ' может быть найдена по тем промежуткам времени, через которые долгота и аномалия приблизительно повторяются. Такие вычисления Птолемей дает в главе IX.3 «Синтаксиса», и приведенные им там значения γ' довольно точные. На самом деле при анализе противостояний достаточно использовать не очень точное значение γ', так как промежуток времени между наблюдениями для каждой планеты меньше 10 лет.

Обозначим теперь через t₁, t₂ и t₃ моменты противостояний из таблицы XI.3 для отдельной планеты, и пусть γ₁, γ₂ и γ₃ - значения аномалии в эти моменты времени. Тогда

γ₁=γ₃-γ¢(t₃-t₁),

γ₂=γ₃-γ¢(t₃-t₂).

В математическое описание трех противостояний первоначально входят пять неизвестных, а именно а, е, γ₁, γ₂ и γ₃. Используя только что выписанные уравнения, мы можем исключить у γ₁ и γ₂ из списка параметров; остается только три параметра, которые надо определить из наблюдений.

Для нахождения а, е и γ₃ требуется выполнить достаточно сложные вычисления, и я не стану занимать здесь место описанием этого метода [4]). Чтобы убедиться в том, что я понял метод Птолемея, я проделал все вычисления для Марса и получил такие результаты:

а = 115;29,37 градуса,

е = 0,100 003,

γ₃= 171;24,57 градуса.

Данное значение е соответствует единичному радиусу деферента. Используя эти наблюдения, Птолемей проделал более тщательную работу, чем в большинстве случаев. У него получились такие значения:

а= 115;30 градуса,

e = 0,1,                                                                                                                     (XI.14)

γ₃=171;25 градуса.

Затем по значениям γ₃ и γ' Птолемей находит аномалию Марса в свою фундаментальную эпоху.

Осталось найти только радиус эпицикла r. Из-за различия между внутренними и внешними планетами, о котором мы уже говорили, определение значения радиуса эпицикла для внешней планеты аналогично определению значения аномалии Венеры, и Птолемей делает это с использованием наблюдений соединений планет, обсуждавшихся в разделе Х.2. Аномалию в момент наблюдения Птолемей может вычислить по g₃ из равенств (XI.14), взяв значение g' из своих таблиц для планет. После чего значение r можно найти путем несложных вычислений по значениям долготы планеты и средней долготы Солнца. Птолемей получил г=39;30 при условии, что радиус деферента равен 60, или r=0,658 333, если радиус деферента равен 1.

Кроме того, для каждой планеты Птолемей делает следующее. Он приводит одно древнее [5]) наблюдение и использует его в дальнейшем изучении аномалии. Наблюдения такие:

1. Из главы Х.9 «Синтаксиса». Птолемей говорит, что утром 18 января -271 г. видели, как Марс коснулся звезды (β Скорпиона. Птолемей не говорит, где и кем было проведено наблюдение, и не приводит момента наблюдения. Однако судя по его вычислениям, он явно исходит из того, что наблюдение было проведено на восходе Солнца в Александрии. Из описания наблюдения Птолемей выводит, что долгота Марса была равна 212;15 градуса, средняя долгота Солнца равнялась 293;54 градуса, а аномалия Марса была равна 109;42 градуса.

2. Из главы XI.3 «Синтаксиса». Птолемей говорит, что утром 4 сентября -240 г. Юпитер покрыл звезду S Рака. Снова он не называет ни наблюдателя, ни места, ни момента наблюдения. Он предполагает, что наблюдение было сделано на восходе Солнца в Александрии. Из описания Птолемей выводит, что долгота Юпитера была равна 97;33 градуса, значение LΘ было равно 159;56 градуса, а аномалия Юпитера была равна 77;02 градуса.

3. Из главы XI.7 «Синтаксиса». Птолемей говорит, что вечером 1 марта -228 г. Сатурн был в 2 единицах [6]) к югу от звезды у Девы. Моментом наблюдения он считает заход Солнца в Александрии. Птолемей выводит, что долгота Сатурна была равна 163; 10 градуса, среднее Солнце имело долготу 336; 10 градуса и аномалия Сатурна равнялась 183,17 градуса [7]).

На примере Юпитера я покажу, как Птолемей использует эти наблюдения. В начале главы XI.3 «Синтаксиса» он говорит, что среди всех древних наблюдений Юпитера он выбрал наблюдение 2, как одно из наиболее точных, и что он воспользуется этим наблюдением для нахождения параметра, который мы назвали γ'. Определив аномалию в момент этого наблюдения, Птолемей сравнивает ее с аномалией в момент третьего противостояния (8 октября 137 г.) Юпитера (см. таблицу XI.3). Он получил, что между двумя наблюдениями прошло 377 египетских лет [8]) плюс 127 суток плюс 23 часа и аномалия за этот промежуток изменилась на 345 полных оборота плюс 105;45 градуса. Затем Птолемей говорит, что полученное изменение аномалии хорошо согласуется со значением, найденным из таблиц (таблицы к тому моменту он уже дал).

Птолемей, мне кажется, использует такие формулировки и здесь, и в главе IX.3 «Синтаксиса», которые создают впечатление, что он находит γ' из приведенных им наблюдений. Но, как мы уже видели, из наблюдений его значение γ' для Меркурия или Венеры не получается, и то же самое можно сказать в случае внешних планет. Например, для Юпитера изменение аномалии составило 124 305 3/4 градуса, интервал времени равен 137 732 23/24 суток, так что скорость изменения аномалии равна 0,902 512 7430 градуса в сутки. В шестидесятеричных обозначениях получаем

γ'=0;54,9,2,45,8,57 градуса  в  сутки.

А при составлении своих таблиц для Юпитера Птолемей брал γ'=0;54,9,2,46,26,0 градуса в сутки.

Птолемей мог сделать в каждом из пяти случаев ошибку при делении, но вряд ли такое предположение выглядит правдоподобным.