Г л а в а   XII

НЕКОТОРЫЕ ВТОРОСТЕПЕННЫЕ ВОПРОСЫ

1. Поворотные точки видимых движений планет

 

Закончив построение моделей, дающих долготы планет, Птолемей выполнил основную задачу «Синтаксиса». В этой главе я коснусь второстепенных вопросов, которыми Птолемей занимается в двух последних книгах «Синтаксиса», в Книгах XII и XIII. За исключением одной, все рассмотренные Птолемеем темы имели важное значение для вавилонской астрономии, но в греческой астрономии им уделялось относительно мало внимания.

Кроме того, в этой главе я вернусь к одному из рассмотренных ранее неоконченных вопросов. Когда я вводил в разделе Х.6 модель вторичного экванта для Меркурия, то обещал рассказать о причинах, приводящих к изучению этой модели, и объяснить, почему такое обоснование модели «вторичного экванта» находилось в пределах интеллектуального кругозора греческих астрономов. Мне удобно будет сделать это в последнем разделе данной главы.

Книгу XI Птолемей заканчивает изучением модели экванта, примененной к Сатурну. Первые восемь глав Книги XII он посвящает поворотным точкам видимых движений'планет. Мы уже обсуждали их вкратце в разделе 1.5 этой книги. Большую часть времени планета движется по небу в восточном направлении. Но есть такой момент, когда движение на восток прекращается и планета начинает двигаться на запад. Однако через относительно короткий промежуток времени движение на запад прекращается и планета возобновляет свое обычное движение на восток. Смена направления движения возможна из-за того, что скорость движения по эпициклу больше скорости центра эпицикла в его движении по деференту. Птолемей начинает с того, что в главе XII.1 приводит одну важную теорему о поворотных точках. Теорему эту он приписывает Аполлонию Пергскому [1]). Город Перга расположен в центральной части южного побережья Малой Азии. Аполлоний - основное лицо в развитии учения о конических сечениях. Видимо, он ввел в астрономию модель эксцентра, и, возможно, он был первым, кто показал эквивалентность моделей эпицикла и эксцентра (см. раздел IV.3).

Я докажу теорему Аполлония с использованием современной терминологии и даже не буду пытаться воспроизвести доказательство Птолемея, хотя в принципе основные черты этих доказательств одинаковые. Сперва рассмотрим для планет простейший случай эпициклической модели. На рис. XII1 точка В - это центр эпицикла. Она движется равномерно по кругу, центром которого служит Земля Е, и долгота точки В - это средняя долгота L планеты. Аномалия у - это угол между радиусом ВР эпицикла и прямой из точки Е в точку В. Значения L и у возрастают в направлении против часовой стрелки.

Рис. ХII.1 Теорема Аполлония о поворотных точках. Круг с центром в точке В - эпицикл планеты Р. В простой эпициклической модели точка В движется равномерно по кругу с центром в точке Е, обозначающей положение Земли. Если аномалия γ изменится на δγ без изменения положения точки В, то Р перейдет в точку Q₁.сли средняя долгота изменится на δL, а γ не изменится, то точка Р перейдет в точку Q₂. В действительности меняются и γ, и L, и точка Р оказывается в поворотной точке, если углы PEQ₁ и PEQ₂ равны. Треугольник справа - это дополнительное построение, используемое в доказательстве теоремы

 

 

В некоторый момент времени планета находится в точке Р. Предположим, что аномалия возросла на величину δγ, а долгота при этом не изменилась. Тогда точка Р перейдет в точку Q₁ а долгота уменьшится на угол PEQ₁. С другой стороны, можно предположить, что средняя долгота изменилась на δL, а аномалия осталась без изменения. Тогда и весь эпицикл повернется на угол δL, а точка Р перейдет в точку Q₂. Долгота точки Р увеличится на угол PEQ₂, равный δL.

В реальной ситуации изменения аномалии и средней долготы на некоторые величины δγ и δL происходят одновременно и долгота истинной планеты Р не изменяется, если равны углы PEQ₁ и PEQ₂.

Рассмотрим теперь небольшой рисунок, находящийся справа от основного. Здесь увеличена часть основного рисунка около перемещения PQ₁. На самом деле PQ₁ - дуга круга, но она настолько мала, что ее можно рассматривать как отрезок прямой. Когда точка Р переходит в точку Q₁,то в результате такого перемещения изменяется и расстояние до точки Е, но на глаз это изменение неразличимо. Если отрезок CQi параллелен лучу зрения ЕР, то нам будет казаться, что точка Р движется к точке С, а не к точке Q₁. Если PC (а не PQ₁) равно PQ₂, то углы PEQ₁ и PEQ₂ равны.

Треугольники PCQ₁ и РАВ подобны, поэтому PC/PQ₁=AP/BP; ВР - это радиус эпицикла r. Таким образом, PC=(AP/r)PQ₁. Если углы δγ и δL измерены в соответствующих единицах, то PQ₁=rδγ и PQ₂=ρδL, где ρ - расстояние от точки Е до точки Р. Итак, PC = =AРδγ. В этом случае отношение PQ₂/PC равно

РQ₂/РС=ρδL/AРδγ = (ρ/AP) (δL/δγ).

Но отношение δL/δγ такое же, как отношение их скоростей. Если использовать введенные ранее обозначения, то L увеличивается со скоростью n градусов в сутки, а γ возрастает со скоростью γ' градусов в сутки. Следовательно,

PQ₂/PC=(ρ/AP)(n/γ').

Точка Р совпадает с поворотной точкой, т. е. долгота точки Р не меняется, если отношение PQ₂/PC равно 1. Другими словами, Р находится в поворотной точке, если

AP/ρ=n/γ'.                                                                                                                 (XII. 1)

Это и есть теорема Аполлония.

В модели экванта угловая скорость γ' постоянна, но угловая скорость п и расстояние р постоянными не являются. Следовательно, положение точки Р на эпицикле (т. е. аномалия) в поворотной точке зависит от значения средней долготы L. Доказав в главе XII.1 теорему Аполлония, Птолемей посвящает следующие пять глав выяснению того, как в поворотной точке у зависит от L. Такие исследования он проводит для каждой из пяти планет. Основывается Птолемей на своих моделях планетного движения. Главы XII.7 и XII.8 посвящены таблицам поворотных точек.