5. Модель экванта

 

На рис. IV.1 точка Е выполняет три различные функции: она по­казывает положение наблюдателя, является центром круга деферента и центром равномерного вращения. На модели, изображенной на рис. IV.3, центром деферента и центром равномерного движения является точка Z, а положение наблюдателя из этого центра перенесено в точку Е. На модели, изображенной на рис. IV.4, три названные фун­кции выполняют три различные точки D, Z и Е. Точка Е снова показывает положение наблюдателя, т. е. этой точкой обозначена Земля Точка Z - это центр круга деферента ABG. Точка В всегда находится на деференте, но вращение этой точки является равномерным не относительно точки Z, а относительно точки D. Это значит, что угол BDγ. который называется средней долготой L планеты, есть линейная функ­ция времени.

Как и раньше, точка Р движется равномерно по эпициклу, точка В - центр эпицикла. Аномалия γ измеряется от радиуса ВТ, лежа­щего на продолжении отрезка DB. Тогда аномалия - это угол РВТ.

Планета находится в апогее, т. е. она наиболее удалена от Земли, если точка Р расположена на продолжении линии ЕВ за точкой В. Аналогично, планета находится в перигее, если точка Р расположена на этой линии между точками В и Е. Однако когда Птолемей говорит об апогее или перигее, то он вовсе не имеет в виду такое взаимное расположение точек Е, В и Р. Под апогеем он понимает точку А, которая является наиболее удаленной от Земли Е точкой деферента, и долгота апогея а - это угол ADγ. Аналогично, под перигеем в тер­минологии Птолемея подразумевается точка G.

 

Рис. IV.4. Модель экванта. Круг деферента ABG имеет центр в точке Z. Греческие аст­рономы брали радиус BZ (он не нарисован) равным 60, мы берем его равным 1. Точка В всегда находится на деференте, но ее враще­ние вокруг Z не является равномерным. Это движение равномерно относительно точки D. В этом случае угол BDγ является линейной функцией времени. Наблюдатель находится в точке Е. Планета Р движется равномерно по кругу с центром в В, угол РВТ называется аномалией γ Угол РЕγ- это долгота плане­ты. При использовании данной модели грече­ские астрономы предполагали, что расстояния DZ(=e₂) и ZE(=e_l) равны. Если сделать такое предположение, то полученная модель называется моделью экванта, а точка D на­зывается эквантом для точки Е.

 

С самого начала отметим, что очевидного соотношения между рас­стояниями ZE и DZ нет, и поэтому я буду обозначать их по-разному. Расстояние ZE я буду называть первым эксцентриситетом и обозначать e₁, а расстояние DZ назову вторым эксцентриситетом и обозначу е₂. Равенство е₁=е₂ Птолемей обосновывает наблюдениями, но даже по нормам его собственного времени доказательство Птолемея нельзя считать удовлетворительным; это будет показано в разделе XI.5. Если на модель наложено условие е₁=е₂, то такая модель называется моделью экванта, а точка D называется эквантом для Е или просто эквантом.

Птолемей применял модель экванта для описания движения Вене­ры и внешних планет, но для Меркурия он этой моделью не пользо­вался. Для описания движения Меркурия Птолемей использовал бо­лее сложную модель; о ней будет рассказано в разделе Х.1. Однако уже сейчас нетрудно понять, почему для Меркурия ему потребовалась другая модель.

Как будет показано в разделе XI.1, использование двух эксцентриситетов дает лучшее приближение к эллиптической орбите [1]), чем можно получить с помощью модели эксцентра (рис. IV.3). Следовательно, деферент дает нам хорошее описание орбиты Солнца (напомним, что в случае Венеры деферент - это орбита Солнца вокруг Земли, а для внешних планет Марса, Юпитера и Сатурна - это орбита Солнца вокруг планеты). Тогда эпицикл - это гелиоцентрическая орбита самой Венеры, если модель использована для Венеры, либо это гелиоцентрическая орбита Земли, если модель используется для одной из внешних планет.

Оказывается, что эксцентриситеты орбит Венеры и Земли намного меньше, чем у любой другой планеты. Поэтому круг эпицикла дает вполне приличные результаты для Венеры и внешних планет. Если же мы попытаемся использовать эту модель для Меркурия, то эпицикл будет представлять гелиоцентрическую орбиту Меркурия. Но эксцентриситет орбиты Меркурия намного больше эксцентриситетов орбит других планет. Вот почему модель, изображенная на рис. IV.4, не может дать хороших результатов для описания движения Меркурия.

Приведем в одном месте все понятия и обозначения, которые используются в модели, изображенной на рис. IV.4; с большинством из них мы уже встречались. Угол BDγ - это средняя долгота планеты; среднюю долготу я обозначаю буквой L с индексом для указания планеты. Если не уточняется, о какой именно планете идет речь, то я буду обозначать этот угол L_P. Угол ADγ называется долготой апогея и обозначается а. Как мы уже говорили, угол ТВР греки называли аномалией γ. Расстояния ZE и DZ - это первый и второй эксцентриситеты e₁ и е₂ мы о них также упоминали. Расстояние РВ обозначается r, это радиус эпицикла. Величины L_P и γ являются линейными функциями времени, а именно

L_P = L₀ + n(t - t₀),                  .

γ = γ₀ + γ'(t - t₀)                             (IV.9)

Уравнения (IV.9) повторяют уравнения (IV.1) и (IV.2) и приведены здесь еще раз для удобства чтения.

Всего у нас восемь параметров: а, е₁, е₂, r, L₀, n, γ₀ и γ'. Но в разделе IV.7 будет показано, что для этих восьми параметров можно ввести два соотношения, поэтому у нас только шесть независимых параметров. Два из этих шести - эксцентриситеты e₁ и е₂, и если, следуя Птолемею, положить е₁=е₂, то для модели экванта остается только пять независимых параметров. Их и нужно найти из анализа наблюдений.