7. Доказательство подделки

 

Каждая из первых двух триад дает Птолемею значения трех пара­метров. Первый параметр - это L₂, средняя долгота Луны во время среднего затмения каждой триады; второй параметр - γ₂. аномалия в то же самое время. И третий параметр - это r, радиус эпицикла Лу­ны. Для облегчения сравнения с современными результатами я заме­нил r на Е, максимальное значение уравнения центра. Величину Е мы получаем по значению г из уравнения (VI.11).

Для двух последних триад Птолемей приводит среднюю долготу и аномалию для каждого затмения. Говорит он также, что r, «в соответст­вии с нашими расчетами», есть 5 1/4, если радиус деферента равен 60. Здесь неясно, получено ли значение r из анализа этих триад, или из каких-то других данных.

Таблица  VI.3

Параметры, выведенные из четырех триад затмений, которые использует  Птолемей

 

Параметры, выведенные из четырех триад затмений, собраны в таблице VI.3. Для каждой триады я привожу те значения, которые независимо нашел сам, а также те значения, которые нашел Птолемей. Для первой триады приведены также значения параметров, полученные после изменения времени второго затмения. Смысл этих параметров станет ясен позднее.

В каждом случае мои значения параметров L₂ и Е настолько хоро­шо согласуются со значениями Птолемея, насколько только можно было ожидать. Для второй триады (с 133 по 136 год) значения γ₂ совпадают точно, а в других случаях имеется расхождение от 6' до 48'. Но на долготу Луны значение γ( почти не влияет, а величина γ₂, наоборот, очень чувствительна к малейшим деталям процедуры вы­числения. Поэтому разница в значениях γ₂ для нас несущественна.

Довольно интересно, что в таблице VI.3 такое хорошее совпадение значений Е для каждой триады. Первое, что мы должны сделать для интерпретации полученного результата, - это изучить влияние пог­решности при измерении времени. Для этого я меняю время второго затмения в первой триаде на 0,01 суток, или на 14,4 минуты. Остальные данные прежние. В результате Е изменилось на 9'. Значение γ₂ измени­лось на 43', что показывает крайнюю чувствительность этого парамет­ра к подобным изменениям.

Даже если часы, использовавшиеся для определения времени, не давали никакой погрешности, время почти всегда приведено так, что остается неопределенность по крайней мере в 15 минут. Я считаю впол­не разумными размерами среднего квадратического отклонения из­мерения времени 0,01 суток. Правильное значение, во всяком слу­чае, по-видимому, не меньше. Кроме того, имеется значительная неопределенность при определении момента начала затмения. Однако это я вообще учитывать не буду. Итак, если мы изменим в данных ка­кое-то время на одно среднее квадратичное отклонение, то Е изменит­ся на 9'. Если изменение времени других затмений оказывает точно такое же воздействие на результаты, то среднее квадратичное откло­нение погрешности при определении значения Е в √3 раз больше из­менения значения Е, обусловленного погрешностью при определении времени какого-нибудь одного затмения. Значит, среднее квадратич­ное отклонение величины Е, полученной из триады затмений, должно быть 9√3. Для удобства считаем это отклонение равным 15'.

Все значения Е, найденные Птолемеем, отличаются от 5;00 не боль­ше, чем на 1', а это 1/15 среднего квадратичного отклонения. Вероят­ность получить два настолько близких значения Е равна 40^-1, а ве­роятность получить настолько близкими четыре последовательных значения уже 40^-3, т. е. 1 шанс из 64 000. Вероятность настолько мала, что на практике ею можно пренебречь.

Приходим к выводу, что совпадение значений Е в таблице VI.3 не может явиться результатом случайных погрешностей измерения. Такое совпадение значений могло произойти только в том случае, если три триады не наблюдались, а были составлены так, чтобы они согла­совались с оставшейся триадой. А может быть, все четыре триады зат­мений являются подделкой.

Кстати, мы должны обратить внимание на то, как Птолемей обращается с полученными результатами, которые он выражает, как пра­вило, в единицах радиуса эпицикла r. Радиус деферента он берет рав­ным 60. Из первой триады (с -720 по -719 гг.) он получает r=5;13. Из второй триады (с 133 по 136 гг.), которую по его утверждению на­блюдал он сам, Птолемей получил 5;14. После этого везде в «Синтак­сисе», включая и рассмотрение других триад, Птолемей округляет это значение до 5;15, что он обычно записывает как 5 1/4.

Незначительные различия значений Е, показанные в таблице VI.3, согласуются с гипотезой о подделке. Данные в подделке были получены с помощью птолемеевой теории Луны. В процессе вычисления таких данных обязательно встречались округленные числа. И в любом слу­чае числа надо было округлять, чтобы их можно было выдать за ре­зультаты измерений [1]). Поэтому в значениях параметров, полученных из сфабрикованных данных, должно было получиться некоторое рас­хождение.

В Части III я привожу веские подтверждения поддельности вто­рой триады. Доказательство основано на том факте, что средние ско­рости движения Солнца и Луны, использовавшиеся в таблицах Пто­лемея, имеют некоторую погрешность, и наблюдения затмений, дей­ствительно проведенные во время Птолемея, должны были выявить систематическое отклонение от солнечных и лунных таблиц. Если же мы будем вычислять затмения по птолемеевым теориям Солнца и Луны, то получим отличное согласование с этими таблицами в пределах рас­хождений, обусловленных самим процессом подделки.

Доказательство, основанное на рассмотрении значений Е, остав­ляет возможность того, что одна триада затмений подлинная. Из до­казательств в Части III мы сразу можем сказать, что та триада, кото­рую наблюдал сам Птолемей, не может быть подлинной. То же самое можно сказать о первой и о самой древней триадах. Почему? Давайте сначала ответим на такой вопрос: каково истинное значение E? От­вет дает уравнение (VI.6). Максимальное значение е_C( равно 5,04°, немного больше, чем 5;02 градуса. Это удивительно близко к зна­чению Птолемея. Однако совпадение, по-видимому, случайное. Если бы все измерения для первой триады были проведены очень точно, то значение Е не должно было совпадать с правильным значением.

Это объясняется уравнением центра для Луны. В уравнении (VI.4) даны четыре старших члена уравнения центра. Самый старший из отброшенных в этом уравнении членов, назовем его δе_C(, такой:

δе_C(= - 0,1856° sin М_Θ. (VI.12)

Здесь М_Θ - средняя аномалия Солнца (в современном понимании это­го термина). Для первых двух затмений триады - затмений 19 мар­та -720 г. и 8 марта -719 г.- М€ немного больше 90°, а для зат­мения 1 сентября -719 г. М _Θ немного больше 270°. Итак, для мартов­ских затмений δе_C( близко к -0,18°, а для сентябрьского - к +0,18°. Анализируя эту триаду затмений, Птолемей не мог использовать верное значение λ(, долготы Луны, и не мог знать об этом. Он должен был вместо λ₍ использовать λ(+ δе_C (.

Я повторил анализ первой триады, сделав такую замену. Вот ре­зультаты:

L₂=164;42, γ₂=9;57, E=4;59,

все в градусах. И точное значение Е триада могла дать только в слу­чае каких-либо случайных погрешностей измерения, компенсирующих влияние δе_C(. Полученное значение совпадает со значением 5;02 гра­дуса с точностью до 3', или 0,2 среднего квадратичного отклонения. С вероятностью 11 против 1 это не могло произойти случайно. Вероят­ность хотя и большая, но не такая уж огромная.

Мы должны также спросить, является ли подлинной какая-нибудь из последних двух триад в таблице VI.3. При этом мы должны помнить, что больше одной триады подлинной быть не может. Из теории погреш­ностей мы получаем только то, что все предыдущие вычисления при­менимы в отдельности к каждой из двух последних триад. Но Птоле­мей рассматривает обе триады абсолютно одинаково. Так что, по-види­мому, либо обе они подлинные, либо обе сфабрикованы. А так как по крайней мере одна триада поддельная, то, вероятно, сфабрикова­ны обе.

Предположим, что все четыре триады - подделка. Но тогда не­медленно встает вопрос: откуда фальсификатор взял значение E? От­вет на этот вопрос простой. И как только мы его получим, все встанет на свои места.

Раньше [Часть III] я писал, что значение Е Птолемей взял у Гиппарха. То же самое сказано и в книге Дрейера [1905, с. 164]. Дрейер не приводит обоснования своему утверждению, я же основывался на первой части главы IV.5 «Синтаксиса». Там Птолемей говорит, что пользуется тем же методом, каким Гиппарх по трем затмениям нахо­дил наибольшее отклонение от среднего движения [2]). Поэтому я решил, что в описании затмений -720 и -719 годов Птолемей следует Гиппарху, который использовал эти затмения. Но потом я засомневался в такой интерпретации. До главы IV.6 Птолемей не говорит о затме­ниях -720 и -719 годов. А в главе IV.6 он не упоминает имени Гиппарха в связи с этими затмениями. Птолемей просто говорит, что вы­бирает три древних наблюдения затмений, проведенных, на его взгляд, достаточно хорошо. Снова Птолемей упоминает Гиппарха в главе IV.11. Здесь он подчеркивает разницу между своими результатами и результатами Гиппарха.

Рассмотрим то значение Е, которое может быть получено из зат­мений, использовавшихся Гиппархом [3]). Если мы берем значение Е, действительно соответствующее исходным данным, то в среднем оно равно 5;04,30 градуса. Если же мы возьмем те значения, которые Птолемей приписывает Гиппарху, то среднее равно 5; 11,30. Для любого из этих значений целое число градусов равно 5. В дальнейшем мы увидим, что фальсификатор имел склонность использовать целые числа. Поэтому на основании работ Гиппарха он вполне мог взять Е=5°, даже если это и не то значение, какое получил сам Гиппарх. Слу­чайное стечение обстоятельств таково, что это округленное число довольно точное. Фальсификатор не всегда был так удачлив в выборе округленных чисел.

Можно предположить, что подделка была предпринята для полу­чения значения E=5°. В самом начале подделки не было необходимос­ти брать определенные значения L₍ и γ₍ в некоторую заданную эпо­ху. Поэтому в первой используемой триаде два затмения могут быть подлинными и только одно обязательно сфабриковано. В самой старой триаде затмений (ее Птолемей рассматривает первой) он не дает, как мы помним, никаких подробностей нахождения времени середины вто­рого затмения. Для остальных затмений триады он описывает это очень подробно. Кроме того, Птолемей приводит среднюю долготу и анома­лию только для второго затмения. Поэтому можно предположить, что в этой триаде подделкой является только второе затмение. Возможно, Птолемей приводит для этого затмения среднюю долготу и аномалию, чтобы затем построить таблицы этих величин. А для других затмений эти величины привести нельзя, поскольку если эти затмения подлин­ные, то нельзя ожидать, чтобы для них средняя долгота и аномалия согласовывались со значениями средней долготы и аномалии для зат­мения-подделки, и нельзя ожидать, чтобы было согласование с табли­цами Птолемея.

Таблица  VI 4

Значения долготы для четырех триад затмений (приведенные Птолемеем и вычисленные)

Дата	Вычисленные значения λ(± 180º   о         ′	Приведенные Птолемеем значения  λ Θ о         ′	Вычисленные значения λ Θ   о         ′
-720 март 19 -719 март 8 -719 сент. 1 133 май 6 134 окт. 20 136 март 6 -382 дек. 23 -381 июнь 18 -381 дек. 12 -200 сент. 22 -199 март 19 - 199 сент. 12	354     30 343    45 153    15 43     15 205     9 344     5 268    16 81     49 257    28 176     8 356    16 165    13	354     30 343    45 153    15 43      15 205    10 344      5 268    18 81      46 257    30 176      6 356     17 165     12	354    38 343    45 153    19 43      14 205     8 344      3 268    16 81      44 257     29 176       5 356     16 165     11

 

Такая гипотеза для всех четырех триад затмений проверяется в таблице VI.4. В первом столбце приведены даты двенадцати затмений. Во втором столбце содержатся вычисленные по теории Птолемея дол­готы Луны в момент середины затмения. Долгота Луны изменена на 180°, чтобы ее можно было сравнивать с долготой Солнца в следующем столбце. Значения долгот Луны я вычислял прямо из уравнения (IV.5), а не с помощью птолемеевых таблиц для уравнения центра. Сначала я попробовал пользоваться этими таблицами, но оказалось, что требующаяся в этом случае интерполяция неоднозначна. То есть для не­скольких затмений я так и не решил, какую интерполяцию мог сде­лать Птолемей.

В третьем столбце даны долготы Солнца, которые Птолемей при­водит для времени середины каждого затмения. Этот столбец нужно сравнивать с предыдущим. В каждом случае причиной расхождения может служить процесс вычисления. Наибольшее расхождение равно 3' для затмения 18 июня -381 г., и в этом случае вполне допустимая интерполяция в таблице Птолемея [глава IV.10 «.Синтаксиса»] дает точное совпадение [4]).

Не может быть и речи о том, что такое совпадение произошло слу­чайно. Среднее значение расхождения точно равно 1'. Для простоты предположим, что все расхождения равны 1'. Предположим далее, что среднее квадратичное отклонение измерения времени составляет только 15 минут (это, возможно, недооценка). За 15 минут Луна по отношению к Солнцу сдвигается на 8', т. е. среднее квадратичное от­клонение разницы между двумя столбцами должно быть 8'. Таким об­разом, значение во втором столбце совпадает с ожидаемыми значения­ми с точностью до одной восьмой среднего квадратичного отклонения. В каждом отдельном случае вероятность того, что это произошло в результате случайных погрешностей измерения, почти точно равна 0,1. Вероятность двенадцати таких случайных событий равна 10^-12.

Посмотрим теперь на последний столбец в таблице VI.4. Здесь дана вычисленная по теории Птолемея долгота Солнца в момент середины соответствующего затмения. Долгота почти однозначно вычисляется путем интерполяции по таблице для Солнца [глава III.6 «.Синтакси­са»]. Именно так и получены величины, внесенные в четвертый стол­бец таблицы VI.4. Для затмения 8 марта -719 г. (второе затмение пер­вой триады) совпадение полное. Для любого затмения последних трех триад расхождение не превышает 2'. Причиной таких расхождений может явиться сам процесс вычислений. Однако для затмений 19 мар­та - 720 г. и 1 сентября -719 г. расхождения соответственно равны 8' и 4'. Расхождения такого размера я не могу объяснить допустимыми изменениями в способе вычислений или в интерполяции [5]). Время этих двух затмений не согласуется с птолемеевыми таблицами для Солнца и Луны. Во всех остальных десяти случаях согласование есть.

Еще до составления таблицы VI.4 мы предсказывали подобный результат. Теперь можно догадаться, что же произошло. Фальсифи­катор так выбирал время затмения 8 марта -719 г., чтобы первая триада затмений приводила к значению Е, близкому к 5°. Но время двух других затмений в этой триаде он подделывать не стал. Вместо этого по первой триаде он нашел среднюю долготу и аномалию Луны на время, подобранное для второго затмения (затмение 8 марта -719г.). Затем с помощью полученных результатов он рассчитал долготу Луны на (подлинное) время первого и третьего затмений и изменил эти ве­личины на 180°. Наконец, Птолемей заявляет (а это не верно), что по­лученные таким образом величины равны вычисленной по теории Солн­ца долготе Солнца в соответствующие моменты времени. Все другие триады полностью сфабрикованы. При этом были использованы пара­метры, найденные из частично подлинной, частично поддельной пер­вой триады.

Мы предполагаем, что данные о времени и о наибольшей фазе зат­мений 19 марта -720 г. и 1 сентября -719 г. истинные, а подделкой является лишь приведенная Птолемеем долгота Солнца. Но есть ос­нования считать, что и эти записи сфабрикованы. Для этого надо рас­смотреть природу вавилонского календаря и то, как Птолемей поль­зуется этим календарем. В нескольких словах такой анализ провести нельзя, поэтому я отложу обсуждение вавилонского календаря до Приложения В, чтобы не прерывать главную линию доказательств. Если доводы из приложения В справедливы, то Птолемей подделал время и величины затмений 19 марта -720 г. и 1 сентября -719 г. Но как он мог это сделать, я еще не знаю.

С этими затмениями связаны некоторые подозрительные моменты, но ни одно доказательство их поддельности не является достаточно убедительным. Поэтому я отношу их в категорию «могут быть поддел­кой». Если не будут получены твердые подтверждения истинности этих наблюдений, вряд ли их можно использовать в каких-либо исследо­ваниях.

Из двенадцати затмений в таблице VI.4 десять затмений определен­но являются подделкой, а затмения 19 марта -720 г. и 1 сентября -719 г. могут быть подделкой. Каждая триада, рассматриваемая как единое целое, содержит сфабрикованные данные. Для двух последних триад это относится только к тем данным, которые называет «правиль­ными» Птолемей. Эти триады затмений использовал Гиппарх, и, воз­можно, у него были подлинные данные. К сожалению, Птолемей не дает тех моментов времени, которыми пользовался Гиппарх; Птолемей приводит только интервалы между затмениями. Я предположил, что у Гиппарха время первого затмения каждой триады такое же, как у Птолемея. Но еще раз подчеркиваю, это только предположение и сде­лано оно для того, чтобы получить некоторые числа для расчетов.

В главе VI.7 «Синтаксиса» Птолемей приводит значения L₂ и γ₂, найденные из самой старой триады затмений (см. таблицу VI.3) и из той триады, которую, по его утверждению, наблюдал он сам. Как говорит Птолемей, изменение L₂ точно соответствует данным Гиппарха о среднем движении (см. раздел VI 4 нашей книги), а вот изменение γ₂ расходится на 17'. Время между затмениями составляет 311 783 су­ток плюс 23 1/3 часа. Как мы уже установили, Птолемей изменяет значение Гиппарха для γ′₍ на 0;0,0,0,11,46,39 градуса в сутки. Здесь конечно, лишь иллюзия поправки, поскольку обе триады сфабрикова­ны. Это просто число и ничего больше. Когда мы из затмений-под­делок находим параметры L₂, γ₂ и r, то округление и другие подобные аспекты вычислений не позволяют получить в точности те параметры, которые Птолемей использовал при подделке. На значение L₂ изме­нения в процессе вычислений не влияют, и поэтому получается совпа­дение изменения по долготе с результатами подделки. Значение γ₂ более чувствительно, поэтому обратное решение дает несколько отлич­ные от исходных значений. А Птолемей отсюда «находит», что требует­ся небольшое изменение параметра γ′₍. Следует обратить внимание чи­тателя на тот факт, что в первоначальном значении последние знача­щие цифры имеют порядок десятков в четвертой шестидесятеричной позиции после точки с запятой и найденное изменение имеет примерно такой же порядок.

Есть один интересный момент, касающийся затмения 22 сентяб­ря -200 г. Как говорит Птолемей, затмение началось за полчаса до восхода Луны. Я уже отмечал, что в таком виде эти данные не могут быть наблюдаемыми данными, и если наблюдение подлинное, то по­нять такую запись трудно. Если же запись фальшивая, то все объяс­няется просто. Птолемей «состряпал» времена и даже не заметил, что его способ их определения несовместим с наблюдениями.

Есть интересный момент, касающийся и триады затмений, про­исходивших в -382 и -381 годах. Из сказанного Птолемеем следует, по-видимому, что затмения наблюдались в Вавилоне. Но тогда (и это было установлено давно) трудно понять изложение некоторых фактов. Попытки объяснить эти записи породили значительные раз­ногласия в литературе. Ссылки на некоторые такие работы можно найти в работе Ньютона [1970, с. 140-142]. Теперь же мы видим, что проблема снята. Затмения являются результатом подделки, и именно этим объясняются приводящие в замешательство записи о них.

Наконец, нужно отметить и необычный момент, связанный с зат­мением 6 марта 136 г. В Части III я получил, что это затмение, да и вся триада, сфабрикованы. Для этой триады я использовал эквива­лент таблицы VI.4. Величину λ₍±180° для этих затмений я вычислял по птолемеевой теории полнолуний (эта теория приведена в следующей главе). На 6 марта 136 г. я получил λ₍ ±180°-344; 12 градуса.

Но когда я писал Часть III, у меня была ошибка в прочтении дол­готы Солнца для этого затмения (об этом уже говорилось). В тексте Птолемея долгота записана как  ιβ' градусов. Случайно я посчитал ιβ' за 12', а не за 1/12 градуса, и тогда получаем, что значение, приве­денное для λ _Θ, было равно 344;12 градуса. Это значение точно совпа­дает с вычисленным значением λ₍ ±180°.

Теорию полнолуния можно использовать для вычисления различ­ных величин, характеризующих затмение. Теория, рассмотренная в этой главе, применима, строго говоря, только тогда, когда средняя элонгация D равна либо 0°, либо 180°, т. е. когда средняя Луна про­тивостоит среднему Солнцу. Во время лунного затмения действитель­ная Луна противостоит действительному Солнцу, a D обычно отличается от 180°. Но закончив работу над Частью III, я понял, что Птолемей в основу своей теории затмений положил теорию, рассмотренную в этой главе, несмотря на присутствующую здесь техническую ошиб­ку. И проверяя записи затмений на подделку, нужно пользовать­ся теорией этой главы. Так я и поступил при составлении табли­цы VI.4.

Переход от одной теории к другой не сильно изменит значения λ₍±180°, но только не для затмения 6 марта 136 г. Для этой даты за­мена теории меняет значение λ₍± 180° с 344;12 на 344;05 градуса. Но правильное прочтение размеров долготы λ_Θ также дает нам значение 344;05 градуса. Так что λ₍±180° точно совпадает с λ _Θ и в таблице VI.4, и в Части III, хотя мы использовали в них разные значения λ _Θ [6]).