3. Модель Птолемея, описывающая движение Луны

 

Еще за три столетия до Птолемея Гиппарх нашел, что Е (максимальное значение уравнения центра для Луны) значительно больше в квадратурах, чем в новолуние или полнолуние. Таким образом, Гиппарх открыл эвекцию как наблюдаемое явление. Птолемей гово­рит [глава V.3 «Синтаксиса»], что он получил то же самое из наблюде­ний, проведенных с помощью астролябии. После этого Птолемей при­водит описание наблюдения (в предыдущем разделе оно стоит под номером 1), где записано, что действительное положение Луны было в 7 2/3 градуса за положением средней Луны.  Наблюдение проведено 9 февраля 139 г., когда Луна находилась в последней четверти.

Дальнейшие действия Птолемея сильно отличаются от того, как он поступал с лунными затмениями и как он находил Е для полнолу­ний. Птолемей считает, что Гиппарх не смог правильно проанализиро­вать наблюдения и на его результаты полагаться не следует. И здесь, же подчеркивает согласованность своих результатов с тем, что получил Гиппарх. 5 августа -127 г. Гиппарх наблюдал Луну в последней чет­верти (в предыдущем разделе это наблюдение стоит под номером 2) и также получил, что действительное положение отличалось от сред­него на 7 2/3 градуса, но только в этом случае действительное положе­ние было «перед» средним, а не «за» ним.

Если взять радиус деферента равным единице, то максимальное зна­чение уравнения центра равно arcsin r (уравнение (VI.11)). Если же радиус деферента равен R, то

E=arcsin (r/R). (VII.1)

Если в квадратуре максимум Е больше, чем в сизигии, то, соответст­венно, должно быть больше и отношение r/R. Птолемей подчеркивает это соображение в последнем предложении главы V.2 «Синтаксиса». И затем, как оказалось, он делает грубую ошибку. Птолемей говорит, что поскольку радиус эпицикла r - константа, то радиус деферента R должен для фазы четверти быть меньше, чем для сизигий [1]).

Если мы согласимся с Птолемеем, то легко найдем отношение между значениями R в четвертях и в сизигиях. В сизигиях sin E=5;15 : 60=0,0875. В квадратурах [2])  Е=7 2/3 градуса и sin E= 0,133410. Отношение равно 0,0875/0,133 410=0,655873, так что если в сизигиях R=60, то в квадратурах R должен быть 39,35 (или 39;21 в шестидесятеричных обозначениях). Для своей окончательной модели Птолемей берет значение 39;22. Теперь Птолемею нужно, используя равномерное движение по окружности, объяснить изменение радиуса деферента с 60 в новолуние до 39;22 в первой четверти, обратно до 60 в полнолуние, снова до 39;22 в последней четверти и до 60 в следующее новолуние. Схема Птолемея показана на рис. VII.2. На этом рисунке точка Е обозначает центр Земли, ^-направление на весеннее равно­денствие,  - направление на среднее положение Солнца. Угол ^Е - это средняя долгота Солнца, угол ^E - средняя долгота Луны, оба эти угла равномерно возрастают.

Прямая Е равномерно вращается вокруг точки Е, при этом длина Е меняется. В то время как Е вращается вокруг точки Е против часовой стрелки, другая прямая ЕС₁ с той же скоростью так вращается вокруг точки Е по часовой стрелке, что углы `M Eи C₁E всегда рав­ны между собой и равны средней элонгации D Луны от Солнца. По­стоянные расстояния ЕС₁ и С₁ нужно определить из исходных дан­ных. Давайте на время забудем о других элементах рис. VII.2 и пусть Р обозначает расстояние С₁ [3]), а ρ - расстояние ЕС₁.

Следуя Птолемею, считаем радиус деферента равным 60. Схема Птолемея для новолуния и первой четверти показана на рис. VII.3. В новолуние D=0, а ρ и Р имеют направление на среднее положение Солнца . В первой четверти D=90°. Тогда ρ лежит справа от точки Е, а ρ слева отточки С₁. В новолуние радиус деферента равен Р+ρ =60. В первой четверти радиус деферента равен Р - ρ =39;22. Следова­тельно,

Р = 49;41,    ρ = 10;19.            (VII.2)

Радиус эпицикла М (мы обозначаем его r) равен 5;15.

На рис. VII.3 радиус эпицикла М и для новолуния, и для первой четверти нарисован в таком положении, которому соответствует максимальное значение уравнения центра. Видно, что максимальное зна­чение уравнения центра (угол, стягиваемый радиусом эпицикла) на самом деле в квадратурах больше, чем в новолуние.

Таким способом эвекцию можно описать  только в  сизигиях и в квадратурах, и ни в

 

Рис. VII 2. Система эпицикл - деферент, ко­торую Птолемей использует для Луны. ^ - направление от Земли на точку весеннего равноденствия,  - направление на среднее Солнце,  - среднее положение Луны, угол ^E - средняя долгота Луны. Угол E - средняя элонгация D, возрастающая в на­правлении против часовой стрелки. Прямая С₁ЕС₂ поворачивается вокруг прямой E по часовой стрелке таким образом, что величина угла С₁E равна D. Bо время движения точ­ки М расстояние С₁М остается постоянным. Расстояния EC₁ и ЕС₂ равны. Средняя анома­лия γ измеряется от луча К (продолжение С₂) по часовой стрелке. Точка М - дей­ствительное положение Луны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. VII.3. Птолемеева модель движения Луны. Конфигурации для новолуния и первой четверти. В новолунии расстояние Е равно Р+ρ, а в первой четверти Р-ρ. Обозначения здесь такие же, как на рис. VII 2. В обоих случаях рас­стояние по долготе между точками М и  наибольшее. Конфигура­ции для полнолуния и последней четверти симметричны конфигура­циям на этом рисунке. Масштаб примерно выдержан.

 

 

 

 

какой другой фазе. С точки зрения современных методов это особенно хорошо видно, если в уравнении (VI.4) оставить два старших члена, описывающих энекцию, и оценить их в какой-либо другой фазе, скажем, при D=45°. Два старших члена в уравнении (VI.4) дадут нам

6,29° sin M+1,27° cos M,

и это выражение не обращается в нуль при М = 0, если мы измеряем М от прямой, соединяющей точки Е и . Для того чтобы получить лен 1,27° cos M, мы должны измерять М от некоторого другого на­правления.

Птолемей, конечно, пользовался совсем другими терминами. На­сколько известно, он не мог и подозревать о верном математическом описании эвекции. Птолемей из наблюдений определяет, что требует­ся дальнейшее развитие схемы. Для этого он использует измерения, полученные из наблюдений 2 мая -126 г. и 7 июля -126 г. (см. табли­цу VII. 1), которые приписывает Гиппарху [глава V.5 «Синтаксиса»].

Наблюдение 2 мая -126 г. проведено посредине между последней четвертью и новолунием, когда средняя элонгация D равнялась 315;32 градуса по расчетам Птолемея и 315;34 по моим расчетам. Ситуация отображена на рис. VII.4 (масштаб примерно выдержан). Чтобы не загромождать рисунок, мы не отметили точку , являющуюся цент­ром эпицикла, расположенного в правом верхнем углу. Другие обоз­начения имеют тот же смысл, что и на рис. VII.2. Поскольку прямая Е вращается против часовой стрелки, то точка  находится в 315° «впереди» среднего положения Солнца  [4]). Средняя аномалия Луны по вычислениям Птолемея равнялась 185;30 градуса, а по моим 185;28. Если, как и раньше, измерять аномалию от точки Z (эта точка лежит на продолжении линии Е), то Луна должна была появиться немного слева от  (за недостатком места Луну на рисунке я не отметил). Лу­на должна была быть впереди среднего положения Луны, и уравнение центра должно было быть положительным.

Измеренная долгота Луны была равна 351;27,30 градуса (см. таб­лицу VII.1). Долгота L₍ средней Луны по вычислениям Птолемея была равна 352;13 градуса и 352;10 градуса по моим вычислениям. Следова­тельно, уравнение центра е_С равно -0;45,30, если брать числа, полу­чившиеся у Птолемея. Сам он сразу заменяет это значение на -0;46. Замена вполне допустимая. Но тогда Луна находится справа от прямой EZ, а не слева. Из наблюдения мы можем определить, где на эклип­тике находится Луна, и от ее положения измерить по эпициклу вели­чину аномалии (185;30 градуса) до точки K. Затем продолжаем прямые К и C₁E до их пересечения в точке С₂ и вычисляем расстояние ЕС₂. В том масштабе, в каком даны равенства (VI 1.2), расстояние ЕС₂ рав­но 10;18. Сам я вычислений до конца не проводил и поэтому мне не с чем сравнивать, но с уверенностью могу сказать, что, насколько поз­воляет ситуация, вычисления Птолемея точны.

Путем измерений Птолемей показал, что с высокой степенью точ­ности расстояния EС₁ и ЕС₂ равны. Он проверяет это и по наблюде­нию 7 июля -126 г. В момент этого наблюдения элонгация Луны D (угол E) почти точно равнялась 45°. Конфигурация, показанная на рис. VII.5, по существу, зеркальное отражение рис. VII.4. Для наблюдения 7 июля -126 г. я сейчас приведу только те значения, ко­торые получил из расчетов Птолемей.

Долгота Луны, полученная из измерений, была равна 148;46 гра­дуса, долгота средней Луны была равна 147;20 градуса. Следователь­но, е_С= + 1;26 градуса. Средняя долгота была равна 333;12 градуса. Если бы это значение получилось при измерении средней аномалии по

Рис. VII.4. Птолемеева модель движе­ния Луны. Конфигурация для наблю­дения 2 мая -126 г. С Земли Луна бы­ла видна немного правее линии EZ, а средняя аномалия была равна 185,30 градуса. Следовательно, среднюю ано­малию надо измерять не от точки Z, a от точки К.

Рис. VII.5. Птолемеева модель движе­ния Луны. Конфигурация на время наблюдения 7 июля - 126 г. С Земли Луна видна немного слева от линии EZ, но ее положение не согласуется со значением средней аномалии, которая равна 333,12 градуса. Среднюю ано­малию надо измерять от точки К, а не от точки Z.

 

часовой стрелке от точки Z, то е_С равнялось бы +2;33, а не 1;26 граду­са; так что средняя аномалия должна была измеряться от другой точ­ки. Положения эпицикла, точки К (для нахождения точки К мы от­меряем на эпицикле величину средней аномалии) и точки С₂ опреде­ляются так же, как и раньше. Птолемей находит, что расстояние EС₂ равно 10;20.

Заканчивая рассмотрение подобной ситуации, Птолемей из наблю­дений 9 февраля 139 г. и 5 августа -127 г. находит, что в его масштабе расстояние ЕС₁ равно 10;19. Из наблюдения 2 мая -126 г. он нахо­дит, что ЕС₂ равно 10;18, а из наблюдения 7 июля -126 г. он получает, что EС₂ равно 10;20.