2. Ранние исследования расстояний до Солнца и Луны

 

За несколько столетий до Птолемея у греческих астрономов были достаточно хорошие оценки размеров Луны и расстояния до нее, по крайней мере, если за единицу измерения взять радиус Земли [1]). Знали они также, что Солнце намного больше Земли и подавно намного больше Луны, хотя их оценки были далеки от правильных.

Мы не знаем всех методов, которыми греческие астрономы пытались оценить эти величины, но два основных метода нам известны. Один из них прямо дает нам отношение расстояний до Солнца и до Луны. В другом методе мы получаем сумму горизонтальных параллаксов Солнца и Луны. Из этих соотношений мы можем найти оба расстояния. Затем, измерив видимые диаметры солнечного и лунного дисков, мы сможем вычислить физические размеры Солнца и Луны (при этом мы предполагаем, что они, как и Земля, являются сферическими объек­тами).

Первым методом пользовался Аристарх Самосский, астроном, предложивший гелиоцентрическую теорию солнечной системы. Дан­ный метод описан в единственной дошедшей до нас работе Аристарха [Аристарх, ок.-280]. Хит, который перевел и подготовил к печати эту работу Аристарха, в своей книге [Хит, 1913] приводит также и информацию, полученную из других астрономических работ греков по данному вопросу.

Метод определения отношения расстояний показан на рисунке VIII.1. Если мы видим ровно половину диска Луны, то прямая из центра Луны к центру Земли перпендикулярна прямой, соединяющей центры Луны и Солнца. Более точно, следует говорить о прямой, иду­щей к точке наблюдения, поскольку на результаты очевидным образом влияет параллакс. Если наблюдатель, для которого Луна находится в . меридиане точки наблюдения (другими словами, на рисунке наблю­датель находится на прямой, соединяющей центры Луны и Земли), видит ровно половину диска Луны, то наблюдатель, находящийся около точки Е (рис. VIII.1), видит больше половины диска Луны, а наблюдатель, находящийся на противоположной стороне Земли, ви­дит меньше половины лунного диска.

Если не учитывать параллакс, то можно сказать, что отношение расстояния до Солнца к расстоянию до Луны равно секансу угла D,

элонгации Луны в момент наблюде­ния. Аристарх брал значение D рав­ным 87° [2]), так что отношение было равно

sec 87°= 19,1073.      (VIII.1)

Рис. VIII.1. Метод нахождения от­ношения между расстояниями до Солнца и до Луны. Когда Луна точно в квадратуре, направления от нее к Земле и к Солнцу перпенди­кулярны. Отношение расстояния до Луны к расстоянию до Солнца рав­но косинусу элонгации D. Рисунок воспроизведен из Части I с разреше­ния Quarterly Journal of the RAS

 

Аристарх, конечно, не использует понятия секанса. Не говорит он и что отношение было равно 19, хотя прежде всего можно было бы ожидать именно такую формулировку. Ари­старх говорит, что значение отноше­ния находилось между 18 и 20. Это не похоже на способ выразить неуве­ренность в результатах наблюдения; такая формулировка порождена, оче­видно, ограниченностью его знаний о тригонометрических функциях [3]). Для простоты при обсуждении ре­зультатов Аристарха я буду пользо­ваться равенством (VШ.1), но читатель должен помнить, что у Ари­старха его нет.

В книге Дрейера [1905, с. 182] приведено несколько значений отно­шения расстояния до Солнца к расстоянию до Луны, которыми поль­зовались греческие астрономы. Какими способами они получали эти значения, мы не знаем. А значения получались разные: от 9 до 30. Правильное значение отношения около 400, так что все их оценки силь­но занижены. И все же все они приходили к правильному выводу, что Солнце намного больше Земли.

Приведем пример. Пусть среднее значение расстояния до Луны рав­но 60 (это близко к правильному значению). Тогда расстояние до Солнца равно 60*19,1073=1 146. Видимый радиус солнечного диска равен примерно четверти градуса. Получаем, что физический радиус Солнца почти точно равен пяти радиусам Земли, а объем Солнца в 125 раз больше объема Земли. Это значение меньше значения, полу­ченного Аристархом. Он говорил, что значение отношения объемов ле­жит между 6 859/27(=254) и 79 507/216(=368).

Метод нахождения суммы параллаксов Солнца и Луны показан на рис. VIII.2. Круги с центрами в точках S и Е - это Солнце и Земля, прямая ABV показывает край тени Земли [4]). Дуга ММ.' - часть круга, радиус которого равен расстоянию до Луны. Предположим, что на рас­стоянии ЕС помещен большой экран. На экране мы получим проекцию тени и угол CEV будет равен видимому с этого расстояния (расстояние до Луны) радиусу тени Земли. Этот радиус (угол) я обозначаю ρ_U.

Рис. VIII.2. Метод нахождения суммы параллаксов Солнца и Луны. Точки S и E - центры Солнца и Земли. Линия ММ' - часть круга, радиус которого равен расстоянию до Луны. В основе этого метода лежит тот результат из элементарной геометрии, согласно которому сумма углов AES и CEV равна сумме углов ВАЕ и ВСЕ. Этот рисунок воспроизведен из Части 1 с разрешения Quarterly Journal of the RAS

 

Можно дать интерпретацию и другим углам на рис. VIII.2. Так, угол AES - видимый радиус ρ_Θ солнечного диска. Угол ЕАВ - параллакс Солнца, т. е. разница тех направлений, в которых точка А на Солнце видна из точек Е и В [5]). Аналогично, угол ЕСВ - параллакс Луны. Из элементарной геометрии получаем

Ð AES + Ð CEV = Ð ЕАВ + Ð ЕСВ.

Если же воспользоваться астрономической интерпретацией этих углов, то получим

ρ_Θ + ρ_U= П_Θ + П₍.                           (VIII.2)

Видимый радиус ρ_Θ Солнца измеряем непосредственно, а радиус те­ни ρ_U можно получить во время частного лунного затмения. Немного позже я объясню, как это делается. Подставив найденные значения в уравнение (VIII.2), мы получим сумму параллаксов, а равенство (VIII.1) дает нам отношение этих параллаксов [6]). Решая систему двух уравне­ний, мы находим оба параллакса, а следовательно, и оба расстояния: и до Солнца, и до Луны. Единицей измерения расстояния в этом случае служит радиус Земли.

Прочитав различные изложения работы Аристарха и комментарии к ней, я нахожусь в некотором замешательстве относительно того, что же он делал. Частично причиной тому служит его способ изложения материала. Начинает Аристарх с формулировки шести предположений [7]):

1. Луна  получает свой  свет от Солнца.

2. Землю рассматриваем как точку и центр сферы, по которой дви­жется Луна.

3. Если мы видим половину диска Луны, то большой круг, разде­ляющий Луну на темную и светлую стороны, расположен в направле­нии луча зрения.

4. Если видна половина диска Луны, то расстояние [8]) от нее до Солнца меньше квадранта на одну тринадцатую квадранта.

5. Ширина тени (Земли) равна (ширине) двух Лун.

6. Луна стягивает одну пятнадцатую часть знака зодиака.

Первые три предположения нужны для обоснования тех геометри­ческих построений, которыми пользовался Аристарх, и вряд ли он настаивал на буквальном понимании второго предположения. Соглас­но предположению 4, если мы видим половину диска Луны, то элон­гация Луны равна 87°. Предположение 5 говорит о том, что ρ_U в два раза больше ρ₍, а предположение 6 говорит нам, что видимый диаметр Луны равен 2°, т. е. ρ₍ = 1˚.

Затем Аристарх говорит, что из этих предположений он докажет три утверждения:

1. Расстояние от Земли до Солнца больше чем в восемнадцать, но меньше чем в двадцать раз превышает расстояние до Луны.

2. То же самое можно сказать и об отношении диаметров Солнца и Луны [9]).

3. Отношение диаметра Солнца к диаметру Земли больше, чем от­ношение 19 к 3, но меньше, чем отношение 43 к 6.

Может быть, и есть обсуждения труда Аристарха, которые прояс­няют, что же он делал, но в тех, которые я видел, сказано, что Аристарх доказывает свои утверждения из своих предположений, и нигде не сказано, что это невозможно. В предположения и утверждения входят пять неизвестных величин. Это диаметры Солнца и Луны, расстояния до Солнца и до Луны и ширина тени Земли (на расстоянии, равном расстоянию от Земли до Луны). Однако в предположения входят только три соотношения между этими пятью величинами и еще одно соотно­шение получаем из геометрических свойств тени. Пять неизвестных из четырех уравнений найти нельзя. И то, что Аристарх находит все пять величин, объясняется тем, что он неявно вводит еще два соот­ношения в форме неравенств. Эти дополнительные соотношения и дают недостающую информацию. Более подробное изложение займет много места, и я откладываю его до Приложения Б.

Данные, использовавшиеся Аристархом, содержат две грубые ошибки. Величина, на которую элонгация отличается от квадранта (90°), взята слишком большой, поэтому отношение расстояния до Солнца к расстоянию до Луны получилось слишком маленьким. Правильное значение этой величины близко к 10', а не к 3°. Но учиты­вая сложность проведения измерений, такая ошибка не вызывает удивления.

Вторую серьезную ошибку мы находим в значении угла, под кото­рым с Земли виден диаметр Луны (предположение 6). Значение, кото­рое дает Аристарх, почти в четыре раза больше правильного. Я встре­чал три возможных объяснения этому факту.

Первое объяснение состоит в том, что это ошибка переписчика. Но в греческом тексте по крайней мере два раза угол описан словами, и Аристарх явно использовал в своих вычислениях 2°. Дело здесь, по-видимому, не в ошибке переписчика.

Второе объяснение состоит в том, что 2° - это известная Аристарху измеренная величина. Хит приводит описание измерения времени, за которое Солнце проходит расстояние, равное своему диаметру [Хит, 1913, с. 311]. Описание взято из источника, к которому я не обращался. В этом измерении время получилось равным 1/216 дня. Тогда видимый диаметр получается равным 1;40 градуса [10]). Согласно второму объяснению либо какое-то утерянное теперь измерение давало 2°, либо Ари­старх округляет измеренную величину до 2°.

Третье объяснение состоит в том, что Аристарх намеренно берет неверное значение, поскольку он дает пример вычислений для иллю­страции своего метода Мы уже встречали такую идею в современных исследованиях по греческой астрономии [11]), и обычно мало что говорит в ее пользу. Однако здесь, казалось бы, есть два подтверждения подоб­ной идее. Во-первых, Архимед пишет: «...Аристарх получил [12]), что Солнце оказывается равным одной 720-й части круга зодиака» [Архи­мед, ок.- 225]. Это говорит о том, что правильным Аристарх считал значение 30' [13]), и, кроме того, это означает, что Аристарх первым получил из измерений такое значение. Во-вторых, процитированные выше утверждения Аристарха, которые имеют для него первостепен­ное значение, не зависят от того, чему равны видимые размеры Луны. Результаты, особо выделенные Аристархом, не зависят от того, поль­зуется ли он разумными, или же ничем не обоснованными значениями видимых размеров Луны. Вот почему Аристарх мог посчитать оправ­данным использование неверного значения, которое не влияет на ос­новные результаты.

Несмотря на все эти соображения, я считаю, что ни одно из трех объяснений не подходит. Если внимательно изучить труд Аристарха, то станет понятно, что его интересовало не точное значение видимого диаметра Луны, а оценка сверху. Как мне кажется, Аристарх берет 2°, поскольку это заведомо больше видимого диаметра. Используя данное значение, он не формулирует ни одного результата, который бы оказался неверным, поскольку взято неверное значение. Обоснования такого предположения изложены в Приложении Б.

Для диаметра Солнца Аристарх дает пределы 6 1/3 и 7 1/6. Среднее значение равно 6 3/4, куб этого числа примерно равен 308. Итак, как я говорил раньше, Аристарх получает, что Солнце значительно больше Земли. Поэтому предположение, что Солнце обращается вокруг Земли, физически не обосновано: мы как бы получаем, что хвост в 1 фунт виляет 308-фунтовой собакой [14]).

Архимед, после того, как приводит найденные Аристархом види­мые размеры Солнца, говорит, что построил свой прибор для измерения - видимого диаметра Солнца. Архимед получает, что значение диаметра находится между 1/164 и 1/200 прямого угла. Среднее арифметическое этих значений почти точно равно 30', и это лишь немного меньше пра­вильного значения.

Гиппарх также занимался размерами Солнца и Луны и расстояния­ми до них. Имеется много ссылок на его результаты, но собственные работы Гиппарха по данному вопросу утеряны. К сожалению, и ссылки в работах древних астрономов, и современные ссылки на эти работы древних авторов содержат много противоречивого. Конечно, в идеале я должен был изучить все относящиеся к делу дошедшие до нас работы древних астрономов и решить, что же в них содержится. Однако есть предел той исследовательской работе, которую можно было провести при подготовке этой книги. Я буду следовать Хиту, который, как мне кажется, наиболее основательно из всех современных специалистов изучил данный вопрос. Естественно, я говорю только о тех совре­менных работах, с которыми знаком. Риск здесь, конечно, есть, но не такой уж большой.

Большую часть дошедшей до нас информации по этому вопросу мы получили от Паппа - математика, расцвет деятельности которого пришелся примерно на 300 г. н. э. В книге Хита [1913, с. 341-343] приведена длинная цитата из комментария Паппа к «Синтаксису». Папп говорит, что Гиппарх написал две книги о размерах Солнца и Луны и о расстояниях до них. В первой книге Гиппарх использует солнечное затмение, которое было полным в Геллеспонте, а в Алексан­дрии было закрыто 4/5 Солнца [15]). Отсюда и, возможно, из других фактов, о которых Папп не упоминает, Гиппарх получает, что расстояние до Луны меняется от 71 до 83 радиусов Земли. Папп не говорит, что Гиппарх определил расстояние до Солнца.

Во второй книге Гиппарх существенно видоизменяет свои резуль­таты. По словам Паппа на основании большой проделанной работы Гиппарх заключает, что расстояние до Луны меняется от 62 до 72 2/3 радиуса Земли, а расстояние до Солнца составляет 490 радиусов Земли. Однако есть убедительное подтверждение тому, что в последнем числе потерялась первая цифра «2», т е. на самом деле Гиппарх полу­чил расстояние до Солнца равным 2 490 земные радиусам Другие ав­торы говорят, что объем Солнца у Гиппарха получился больше объема Земли в 1 880 раз, но тогда радиус Солнца равен 12,342 радиуса Земли и видимый радиус Солнца равен 17'2", примерно на 1' больше, чем нужно. По приведенным цифрам получаем также, что параллакс Солн­ца равен 1'23", а параллакс Луны, находящейся на среднем расстоянии, равен 51'З". Следовательно, сумма в правой части уравнения (VIII.2) равна 52'26".

Такие результаты не согласуются с тем, что Птолемей говорит о Гиппархе. В главе IV.9 «Синтаксиса» Птолемей пишет,   что Гиппарх брал видимый диаметр Луны равным 1/650 круга [16]). Это эквивалентно тому, чтобы взять ρ₍ = 16'37". Здесь же Птолемей говорит, что значение ρ_U у Гиппарха было в 2 1/2 раза больше, т. е. 41'32", но он не гово­рит, чему был равен у Гиппарха радиус ρ_Θ. Если Гиппарх брал ρ_Θ равным среднему значению радиуса ρ₍, то сумма в левой части уравне­ния (VIII.2) равна 58'9". Если он брал его равным величине, приве­денной в предыдущем абзаце (17'2"), то сумма равна 58'34". В любом случае, если верить и Паппу, и Птолемею, сумма в левой части полу­чается немного больше, чем сумма в правой части. Для дальнейшего обсуждения неважно, чему равна сумма в левой части уравнения (VIII.2). Для определенности я считаю ее равной 58'9", т. е. считаю, что Гиппарх приравнивал видимый диаметр Солнца среднему значению видимого диаметра Луны.

В главе V.11 «Синтаксиса» Птолемей говорит, что для нахождения наибольшего и наименьшего возможных значений параллакса Солнца Гиппарх использует солнечные затмения, возможно, вместе с лунными затмениями. Птолемей не приводит ни одного из найденных Гиппархом предельных значений, но все же можно сделать некоторые оценки. Если мы используем то отношение расстояний, которое приписывает Гиппарху Папп, т. е. 37, то параллакс Солнца равен 1′32", что соот­ветствует расстоянию, равному 2 242 земным радиусам. Параллакс Луны в этом случае равен 56'37", что соответствует расстоянию в 60,7 радиуса Земли. Если параллаксом Солнца пренебречь, то параллакс Луны равен 58'9", и это соответствует расстоянию, равному 59,1 радиуса Земли. Оба значения меньше тех значений, которые Папп приписывает Гиппарху.

Ко всему, что говорит Птолемей, мы должны относиться с подозре­нием, особенно, если принять во внимание сказанное им о затмениях в таблице VI.2. Если здесь он говорит правду [17]), то Гиппарх не менее трех раз получал размеры Солнца и Луны и расстояния до этих светил, причем каждый раз он улучшал предыдущие результаты. Я готов по­верить Птолемею, хотя причины для этого в некотором смысле нелогич­ные: те значения, которые Птолемей приписывает Гиппарху, довольно точные, а вот другие значения содержат большие погрешности. Мне кажется невероятным, чтобы Гиппарх остановился на таком неточном результате, каким является значение, равное 67 1/3 земного радиуса, для среднего расстоя­ния до Луны [18]). Ведь в его распоряжении были ме­тоды, позволяющие получить более точные резуль­таты.

В любом случае можно сделать вывод, что Гип­парх считал число 20 слишком маленьким для отно­шения расстояния до Солнца к расстоянию до Луны. В книге Дрейера [1905, с. 185] сказано, что Гиппарх в этом не одинок, что Посидоний «постиг, что рас­стояние до Солнца намного больше чем в 20 раз пре­вышает расстояние до Луны» и что он предпринял «за­мечательную попытку определить действительные размеры Солнца...». Существует мнение, согласно ко­торому Посидоний знал, что во время летнего солнце­стояния в Сиене в круге диаметром около 300 стадий нет теней. Среди прочего это говорит о том, что широ­та Сиены равна наклону эклиптики; впервые мы "ука­зали на эту специфическую ошибку в разделе III.

Данный факт говорит кое-что и о видимых раз­мерах Солнца. Это видно на рис. VIII.3. На этом рисунке круг, обозначенный S, представляет Солнце, а круг, обозначенный Е, представляет Землю. Угол с вершиной в точке Е равен видимому диаметру Солнца. Внутри сек­тора, который этот круг высекает на поверхности Земли, некоторая часть солнечного света падает вертикально, другая часть освещает все стороны вертикального объекта. Итак, внутри сектора теней нет, но края этого сектора обозначены не очень четко.

Отношение радиуса круга, в котором нет теней, к действительному радиусу Солнца такое же, как отношение радиуса Земли к расстоянию от Земли до Солнца. А это последнее отношение по определению равно sin П_Θ. Посидоний говорит, что радиус Солнца равен 1 500 000 ста­дий, если отношение расстояния до Солнца к радиусу Земли равно 10 000. Это эквивалентно предположению, что sin П_Θ=0,0001.

Боюсь, я не вижу ничего замечательного в таком результате. Он дает возможность найти физические размеры Солнца по известному параллаксу Солнца, но то же самое можно сделать и с помощью других описанных методов. Насколько я могу судить, это не более чем ин­тересный,   но не  точный   способ   определения   видимого   (углового) радиуса Солнца. Мы не знаем, какая стадия использовалась, но если предположить, что в таких стадиях длина земного экватора равна 252 000, то видимый радиус Солнца примерно равен 13'. Правильное значение около 16'. Точного результата нельзя было и ожидать: я уже говорил, что край круга, в котором нет теней, довольно расплывчатый. Наше слово «мириады» происходит от греческого слова, имеющего два значения. Первое значение - неопределенное, но очень большое число.  Другое - обозначение определенного числа   10 000.   Именно такое  значение  отношения   использовал   Посидоний.   10 000  также наибольшее число, которое удобно записывать с помощью греческих цифр. Когда Посидоний говорит о расстоянии до Солнца, я думаю, он имеет в виду, что расстояние не определено. По тому, как он пользу­ется этим греческим словом, можно, видимо, сказать, что соответствующее число больше 1 200, а именно такое значение получается из ра­венства (VIII.1).

 

 

Рис. VIII.3. Об­ласть на Земле, внутри которой нет теней. Угол,

стягиваемый этой   областью, равен видимому диаметру Солнца.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Другое происхождение значения 10 000 у Посидония предлагает Хит [Хит, 1913, с. 348]. В «Исчислении песчинок» [Архимед, ок.- 225] Архимед хочет получить с помощью расстояния до Солнца очень большое число. Расстояние до Солнца он собирается оценить из дру­гих данных. И он умышленно выбирает такие данные, которые, по его мнению, приведут к значению, во много раз превосходящему действи­тельное расстояние до Солнца. Но даже с такими данными он полу­чает, что расстояние до Солнца превосходит радиус Земли меньше, чем в 10 000 раз [19]). По предположению Хита Посидоний игнорирует «мень­ше, чем» и берет расстояние равным 10 000 радиусам Земли.

Чтобы избавиться от любых неясностей в вопросе о параллаксах Солнца и Луны, Птолемей использует метод, отличный от уже приве­денных им методов. Об этом говорит сам Птолемей в начале главы V.12 «Синтаксиса». Согласно его методу он непосредственно измеряет параллакс Луны, затем с помощью лунных затмений находит парал­лакс Солнца. Боюсь, Птолемей ошибается в оценке своего метода. Как мы увидим, этот метод явно хуже предшествующих. Другие ме­тоды дают, по крайней мере, разумные, хотя и слишком маленькие, значения расстояния до Солнца. Метод же Птолемея может привести к бессмысленным результатам. Это мы покажем в разделе VIII.8. Поль­зоваться при этом мы будем данными самого Птолемея.