4. Склонения восемнадцати звезд

 

В главе VII.3 «Синтаксиса» Птолемей приводит склонения восемна­дцати звезд, измеренные либо Аристиллом или Тимохарисом, либо Гиппархом, либо им самим. Измерения Тимохариса и Аристилла были сделаны в Александрии около -290 г., измерения Гиппарха были проведены, вероятно, на Родосе около -128 г., и измерения Птолемея, по утверждению самого Птолемея, были сделаны в Александрии около 137 г. Эти три множества измерений составляют три множества данных в таблице IX.1 [1]).

Обратимся теперь к рис. IX.3. На этом рисунке показано положе­ние звезды S около точки весеннего равноденствия на два разных момента времени. Наклонная линия - это эклиптика, которую мы можем считать неподвижной по отношению к звездам [2]). Линия, обоз­наченная Eq(l),- это положение экватора на некоторый момент вре­мени. Тогда точкой весеннего равноденствия на этот момент служит пересечение эклиптики с Eq(1) (напомним, что если север на рисунке сверху, то восток слева). Равноденствие для более позднего момента времени сместится к западу, и теперь экватор - это прямая, обозна­ченная Eq(2). Во второй момент времени звезда S отстоит дальше от экватора, чем в первый; другими словами, ее склонение возрастает.

С помощью аналогичной картинки для осеннего равноденствия читатель сам может убедиться в справедливости следующих утверждений. Если для обоих моментов времени значение долготы лежит между -90°(270°) и 90°, то склонение увеличивается. Если же для обоих моментов времени значение долготы находится между 90° и 270°, то склонение уменьшается. Если долгота близка к 90° или 270°, то склонение если и меняется, то очень мало.

Птолемей так выбирает восемнадцать звезд, что для девяти из них склонения со времени Тимохариса и Аристилла возросли, а для других девяти уменьшились. Тот факт, что долготы попадают в только что указанные промежутки, означает, что при увеличении долгот, обус­ловленном прецессией, широты звезд оставались постоянными.

 

Рис. IX.3. Положение звезды около точки весеннего равноденствия в две эпохи. Эклиптика остается почти неподвижной по отношению к звездам; стрелка указывает восточное направление по эклиптике. По мере того как экватор переходит из поло­жения Eq(l) в положение Eq(2), расстояние от экватора до звезды S увеличивается. Это расстояние и есть склонение звезды S. Общее утверждение такое: склонение звез­ды S коло точки весеннего равноденствия увеличивается со временем; если звезда находится около точки осеннего равноденствия, то склонение уменьшается.

 

В каждой группе из девяти звезд Птолемей выбирает по три звезды и, пользуясь своими измерениями и измерениями Гиппарха, вычисляет ту скорость прецессии, которую определяет изменение склонения. Например, у находящейся около точки осеннего равноденствия звез­ды α Девы склонение меняется с 3/5 градуса к северу от эклиптики на 1/2 градуса к югу. Чтобы звезда, находящаяся в таком положении, изменила свое склонение на 66', требуется, как говорит Птолемей, изменение долготы на 2 2/3 градуса. Долгота α Девы изменилась на 2 2/3 градуса за 2 2/3 столетия, поэтому скорость должна быть рав­на точно 1° в столетие. Ту же самую скорость Птолемей получает по каждой из остальных пяти выбранных им звезд. Птолемей совсем не использует 12 звезд из 18, не использует он и измерения, приписыва­емые Тимохарису или Аристиллу. Давайте исправим эти «упущения».

Путем изучения склонений, измеренных Тимохарисом или Аристиллом в процессе вывода наклона эклиптики [Ньютон, 1974], я пришел к заключению, что отклонение при установке круга, с помощью которого они измеряли склонения, составляло 0,068° (около 4'). Как показывает таблица IX.1, среднее квадратичное отклонение их изме­рений было равно 8,8'; вполне приемлемая величина. Используя зна­чения, приписываемые Тимохарису или Аристиллу, вместе со значе­ниями, приписываемыми Гиппарху, я получаю такую скорость прецессии р:

р=46,6±4,5 секунд дуги/год.                                               (IX.1)

По теории Ньюкома это значение равно 49,8" в год [Ньюком, 1895]. Итак, данные Тимохариса, Аристилла и Гиппарха приводят к зна­чению, которое хорошо согласуется с современными результатами, но которое сильно расходится с результатами, полученными Птолемеем. Вместе с оценкой точности, данной в таблице IX.1, это решительно указывает на подлинность приписываемых Гиппарху измерений. И у нас есть некоторое подтверждение подлинности данных Гиппарха. Как я уже сказал, в труде Гиппарха [ок. -135] приведены склонения сорока звезд, и три из них входят в каталог Птолемея. Для двух из этих трех звезд (а Волопаса и р Близнецов) склонения совпадают точ­но. Для а Близнецов Гиппарх приводит значение 33 1/2 градуса, а Птолемей говорит, что Гиппарх получил 33 1/6 градуса. Поскольку дроби 1/2 и 1/6, записанные греческими цифрами, можно было легко спутать, то это, возможно, ошибка переписчика, а не действительное расхождение [3]). Итак, в поддающихся проверке случаях те значения, которые Птолемей приписывает Гиппарху, совпадают с теми значени­ями, которые приводит сам Гиппарх.

 

 

 

Таблица   IX.2

Скорость прецессии, вычисленная по птолемеевым склонениям

Используем теперь все восемнадцать звезд для нахождения ско­рости прецессии. Результаты занесены в таблицу IX.2 (эта таблица взята из Части III с разрешения Королевского астрономического об­щества). Долготы четырех звезд настолько близки к 90° или 270°, что получить по ним заслуживающую доверия скорость прецесси и невозможно. Поэтому в таблицу IX.2 занесены только четырнадцать звезд. Таблица содержит следующую информацию: название звезды; склонение, измеренное Гиппархом; склонение, измеренное, по его собственному утверждению, Птолемеем; изменение склонения; ско­рость прецессии, вычисленная по изменению склонения.

Звезды в таблицу IX.2 внесены не в том порядке, в каком дает их Птолемей. Сначала я записал те шесть звезд, которые использует Пто­лемей; внутри этой группы порядок такой же, как у Птолемея. И вну­три группы тех звезд, которые Птолемей не использует, я сохранил его порядок. Выбирая три звезды из каждой группы по девять звезд, Птолемей не берет три первые. Он выбирает их, казалось бы, наугад. В первой группе он использует вторую, четвертую и пятую звезды, а во второй группе - вторую, третью и шестую.

Для группы из тех шести звезд, которыми пользуется Птолемей, значения прецессии лежат между 35,1 и 41,1, хотя Птолемей и говорит, что по каждой звезде получается 36 секунд дуги/год (1° в столетие). Оценка р по этой группе такая:

р=38,1 ± 1,1 секунд дуги/год.                                                         (IX.2)

Значения, которые он не использует, меняются от 45,1 до 64,4; заме­тим, что множества значений скорости прецессии для разных групп не пересекаются. По группе неиспользуемых звезд получаем

p=52,8 ± 2,0 секунд дуги/год.                                                         (IX.3)

Это нужно сравнить со значением 46,6+4,5 секунд дуги/год, получен­ным из данных Тимохариса или Аристилла (равенство (IX.1)) и со значением 49,8 секунд дуги/год, выведенным по теории Ньюкома.

Группа звезд, которую Птолемей не использует, приводит к до­вольно точному значению прецессии, и среднее квадратичное откло­нение погрешности в склонении для этой группы равно 7,2' (таб­лица IX.1). Смещение при измерении склонений, полученное по этой группе, равно 0,007° [Ньютон, 1974]. Эта группа проходит все тесты на подлинность, и я почти не сомневаюсь в том, что данные склонения получены из наблюдений. Но Птолемей их не использует.

Для той группы, которую Птолемей использует, мы получаем сов­сем другой вывод. Для этой группы ни отдельные значения р, ни погрешности в значениях склонений [Часть III] не имеют ничего общего с группой неиспользуемых Птолемеем звезд. Поэтому мы мо­жем быть почти уверены в том, что группа из шести склонений, ис­пользованных Птолемеем, подделана.

Паннекук [Паннекук, 1955] также отмечает, что по тем звездам, которые Птолемей использует, получаются результаты, совершенно отличные от тех, к которым приводят неиспользованные Птолемеем звезды, но выводы Паннекук делает другие. По его мнению, все мно­жество склонений подлинное, а «Птолемей выбрал эти шесть звезд потому, что [4]) они согласуются с его предполагаемым значением прецессии... Все же мы не можем говорить о попытке обмануть своих чи­тателей...»

Используемая Птолемеем группа склонений сфабрикована, а не выбрана из подлинных данных, и это можно показать многими спосо­бами. Прежде всего, маловероятно уже само существование шести подлинных наблюдений, приводящих к тому значению, которое полу­чил Птолемей. Среднее квадратичное отклонение отдельного значения р от среднего значения для подлинных наблюдений равно 5,5 секунд дуги/год. Значения р, которыми пользуется Птолемей, лежат пример­но в 2,7 среднего квадратичного отклонения от среднего значения. Вероятность получить значение, так далеко отстоящее от среднего, да еще и в предусмотренном заранее направлении, равна 0,0034, т. е. если мы рассчитываем получить одно значение такого сорта, надо взять выборку из 290 значений. А чтобы получить шесть таких значе­ний, мы должны рассмотреть примерно 6*290 = 1740 значений. Можно с полной уверенностью сказать, что ни Гиппарх, ни Птолемей столько склонений не измеряли [5]).

Да и дело не просто в отыскании определенных значений. Для того чтобы узнать, даст ли звезда подходящий результат, или нет, Птолемей должен был вычислить скорость прецессии по каждой изу­чаемой звезде. Если принимать во внимание технику вычислений того времени, то подобные вычисления должны были представлять для него значительные трудности. А поскольку мы уже знаем, что Птолемей использует поддельные данные для получения прецессии, намного более вероятно, что он сфабриковал шесть подходящих зна­чений вместо того, чтобы отыскивать их среди 1740 (если они вообще существовали), причем в каждом случае надо было провести довольно трудоемкие вычисления, а надежда найти эти шесть значений могла оказаться напрасной.

С другой стороны, разница между величинами р, полученными в ра­венствах (IX.2) и (IX.3), примерно в 4,7 раза больше суммы их сред­них квадратичных отклонений. Я не вычислял вероятности такого слу­чайного события для подлинных наблюдений, но она должна быть порядка 10^{-5 [6]}).

Надо еще отметить, что среднее квадратичное отклонение группы из шести значений от ее среднего значения равно 2,4 секунд дуги/год, а среднее квадратичное отклонение группы из восьми значений равно 5,5 секунд дуги/год. Если группа из шести значений состоит из сфаб­рикованных величин, то следовало ожидать меньшего разброса значе­ний. Но это практически невозможно, если группа из шести значений является экстремальным «хвостом» большого набора измеренных значений; в моей практике «хвост» распределения всегда дает боль­ший разброс значений.

Наконец, посмотрим на гистограмму отдельных значений в таб­лице IX.2. Интервал, для которого составлена гистограмма (рис. IX.4), равен 5 секунд дуги/год. Получились следующие числа: шесть значе­ний, лежащих в интервале между 50 и 55 секунд дуги/год, и два зна­чения, попавшие в интервалы, соседние с этим, представляют те восемь значений, которые Птолемей не использует. Они образуют правдоподобную совокупность измеренных значений с нормальной погрешностью наблюдений. Но если они действительно образуют такую совокупность измеренных значений, то маловероятно, чтобы значения меньше 40 секунд дуги/год принадлежали к той же самой совокупности значений. Нет правдоподобного процесса измерения, для которого

С точки зрения действий Птолемея, мне кажется, не так уж важно, были ли шесть значений сфабрикованы или отобраны. В любом случае ясно, по-видимому, что Птолемей пытается сделать. Он хочет убедить читателя в том, что его данные, приводящие к скорости 36 секунд дуги/год, типичные, хотя он хорошо знает, что это не так. Были ли данные сфабрикованные, или же они были отобраны - в любом случае то, что он пишет,- это обман. Только для оценки качества древних наблюдений важно, были ли данные, которыми пользуется Птолемей, специально отобраны или подделаны. Все найденные нами тесты го­ворят, что они подделаны.

Рис. IX.4 Гистограмма отдельных значений прецессии. Птолемей использует шесть меньших значений р, но не приводит и даже не упоминает восемь больших значений. Гистограмма показывает, что выборка из шести и выборка из восьми значений имеют разное происхождение распределение по частоте получаемых значений имело бы два макси­мума, если основное измерение такое простое, как измерение склоне­ния. Другими словами, если восемь значений в правой части гисто­граммы подлинные, то шесть значений в левой части гистограммы почти наверное такими не являются.

 

Паннекук проводит аналогию между отбором данных Птолемеем и практикой «удаления» сильно несогласующихся величин из набора данных. Как мне кажется, здесь нет ничего похожего. «Удаление» следует применять в тех ситуациях, когда имеются физические осно­вания считать, что некоторые значения в ряде записанных чисел нельзя рассматривать как реальные данные. Например, если последователь­ность измерений записывалась каким-то электронным прибором, кратковременные электронные помехи из расположенного где-нибудь вблизи источника могли привести к такой записи, которая не является результатом измерения изучаемой величины. Это будет уже характе­ристикой источника помех, и мы должны постараться избавиться от таких показаний.

Но действия в подобной ситуации двумя очень существенными моментами отличаются от практики Птолемея, даже если предполо­жить, что данные о прецессии Птолемеем отобраны, а не подделаны. В случае электронных шумов или в аналогичном случае честный экспериментатор составляет гистограмму. По получившейся гисто­грамме он определяет, что действительно является множеством дан­ных, и опускает значения, не попадающие в это множество. Но он никогда не отбросит значительную часть данных; он не отбросит две трети всех данных, как это сделал Птолемей. И, производя такой отбор, экспериментатор не знает, каким должен быть ответ. Он отбирает дан­ные вовсе не для получения определенного результата, как это делает Птолемей.

В случае скорости прецессии, полученной из измерений склонений, не может быть и вопроса о том, что Птолемей - невинная жертва бес­честного коллеги. Здесь у Птолемея есть восемнадцать пар склонений; точно шесть пар приводят к тому значению прецессии, которое он уже якобы получил из наблюдения Регула, и ни одна из оставшихся пар не ведет к такому значению. Неправдоподобно, чтобы Птолемей не преднамеренно, а случайно решил использовать точно шесть пар, не взяв из остальных ни одной пары.

Мы неизбежно приходим к выводу, что автор «Синтаксиса» знал, что он делает. Он сознательно решил «подтвердить» неверное значение прецессии, используя подложные данные. А чтобы скрыть обман, он так перемешивает поддельные данные с некоторыми подлинными, что уже может претендовать на использование типичных данных.