7. Доли градуса в звездном каталоге Птолемея

 

Все предыдущие доказательства для координат звезд включают рассмотрение значений самих координат и их сравнение со значениями, полученными по современным или по древним данным. Другой класс убедительных доказательств опирается только на изучение долей градуса и их статистическое распределение. Как говорится в некоторых работах последнего времени, это распределение показывает, что для измерения координат, появляющихся в птолемеевом каталоге, были использованы два различных инструмента. А два инструмента предполагают двух наблюдателей. И авторы этих работ приходят к выводу, что некоторые координаты измерил Гиппарх, а другие независимо измерил Птолемей.

Как мы увидим, распределение долей градуса в действительности ведет к совершенно другому выводу. Это распределение ясно показывает, что мы имеем дело с однородным множеством координат. Кроме того, распределение долей градуса доказывает сфабрикованность всего каталога: в миллиард раз более вероятно, что каталог является подделкой, а не результатом анализа подлинных наблюдений. Сам же характер распределения долей градуса позволяет нам восстановить процесс составления каталога.

Доли градуса, появляющиеся в звездном каталоге, являются кратными либо 1/6 градуса, либо 1/4 градуса. В греческих первоисточниках дробь никак не обозначалась, если координата была целым числом. Это расходится с современной практикой: если дробь равна нулю, мы обязательно поставим в том или ином виде нуль, показав тем самым, что дробь не была случайно пропущена. В греческих первоисточниках кратные 1/6 записывались в виде 1/6, 1/3, 1/2, 2/3 и 1/2+1/3 [1]). Кратные 1/4 записывались как 1/4, 1/2 и 1/2+1/4. Определить из записей, является ли дробь 1/2 кратным 1/6 или 1/4, мы не можем. При рассмотрении дробей удобнее пользоваться их эквивалентами в минутах дуги.

Таблица   IX.6

Дробные части градуса, встречающиеся в звездном каталоге

Таблица IX.6 показывает распределение долей градуса, встречающихся в звездном каталоге, и в долготах, и в широтах. При составлении таблицы я пользовался версией из книги Петерса и Кнобеля [1915]. Выполнив эту довольно скучную работу по подсчету долей градуса, я не могу дать гарантии, что у меня нет ошибок. Но распределение в таблице IX.6 близко к распределению, приведенному в статье Фогта [1925]. Так что серьезных ошибок в таблице IX.6 нет. Согласно Петерсу и Кнобелю для одной долготы и двух широт первоначальные значения вызывают сомнения; эти координаты я отбросил. Смысл чисел, стоящих в столбце под названием «сколько раз дробь доля встречается (теоретически)», я объясню немного позже.

Сперва посмотрим на широты. Первое, что бросается в глаза, это симметричность соответствующего распределения. Отсчет 10' встречается 106 раз, 15' встречается 88 раз и 20' встречается 112 раз; всего 306 случаев. Отсчеты 40', 45' или 50' встречаются в 286 случаях. Статистически разница между 286 и 306 несущественна [2]).

Большинство авторов особое внимание уделяют тому факту, что в широтах встречаются кратные и 10' (1/6 градуса), и 15' (1/4 градуса). Это доказывает, как они говорят, использование двух различных градуированных кругов. Один круг должен быть размечен через 10', другой - через 15'. Но такой вывод необоснован. Пусть цена деления равна 30', и наблюдатель не собирается оценивать дроби, меньшие 10'. Пусть значение широты звезды попадает между отметкой, соответствующей целому числу градусов и следующей 30-минутной отметкой. Если значение находится рядом с каким-нибудь делением, то наблюдатель запишет долю градуса, соответствующую этому делению (0' или 30'). Если значение широты немного отстоит от одной из отметок, но все же находится заметно ближе к ней, чем к другой, то наблюдатель может записать 10' или 20'. И наконец, если значение попадает практически на середину интервала между делениями, наблюдатель мог бы записать 15'. Аналогичная ситуация в том случае, если звезда появляется между отметкой 30' и следующей отметкой, соответствующей целому числу градусов.

Получим некоторые количественные оценки. Пусть наблюдатель может точно определять положение «на глаз» и пусть он строго следует только что описанной процедуре. Если число минут попадает между. 55' и 5', то он приписывает значение 0' (т. е. наблюдатель не пишет никакой дроби). Подобная ситуация возникает в каждом шестом случае. Если число минут лежит между 5 и 12 1/2, то он записывает 10'; так случилось бы в восьмой части всех случаев. Если число минут попадает между 12 1/2 и 17 1/2, то наблюдатель записывает 15'; этому соответствует двенадцатая часть всех возможных случаев, и т. д.

В столбце, названном в таблице IX.6 «сколько раз дробь встречается (теоретически)», показано, сколько раз каждая доля градуса должна встречаться на основании приведенных выше рассуждений. При составлении этого столбца я умножал только что полученные числа на число звезд в каталоге, т. е. на 1028, а затем округлял до ближайшего целого. Сначала сравним «теоретический» столбец с распределением дробей в широтах.

С самого начала отметим, что 0' встречается на 38 раз больше, чем 30', а среднее квадратичное отклонение разности для (236+198) наблюдений равно 20,8. Вероятность, что такая разница получилась случайно, равна 0,07, т. е. статистически эта разница существенная, но не такая уже огромная. Такая разность позволяет определить цену деления на круге: вероятно, она была равна не 30', а целому градусу. Если бы круг был размечен с интервалом в 30', то долей 30' получилось бы столько же, сколько и 0'. Теоретическое описание различных случаев, данное выше, одно и то же для кругов с ценой деления в 1° и в 30'. Если круг был разделен в градусах, то происходит, вероятно, следующее. Глаз, так сказать, «привязан» к градусной отметке. И поэтому несколько большее число значений будет записано с нулевой дробной частью, чем с дробной частью, равной 30'. Величина 30' соответствует середине интервала между двумя делениями, где нет никакой отметки.

По аналогичным причинам и 0', и 30' встречаются чаще, чем допускает строго теоретическое разделение возможных случаев. Это неудивительно. Как мы уже сказали, из-за наличия отметки глаз, возможно, «отводит» больше места области, обозначаемой 0'. Следующую по размерам область глаз «отводит» отсчету 30'; объяснением, вероятно, служит наше пристрастие к симметрии. Но если мы увеличиваем области 0' или 30', то это вызывает уменьшение областей, соответствующих соседним дробным значениям. При этом число ближайших к нулевой отметке отсчетов 10' и 50' уменьшится сильнее, чем число отсчетов 20' и 40', соседствующих с серединой отрезка, равной 30' [3]).

После того как мы допустили особую «притягательность» чисел 0' и 30', распределение широт хорошо согласуется с «теоретическим» столбцом. Правда, есть одно исключение. Значительно меньше, чем должно быть, число отсчетов 45', хотя число отсчетов 15' почти совпадает с теоретическим распределением. И независимо от того, считаем ли мы, что измерения проводились с помощью двух градуированных кругов, или нет, объяснить получившееся распределение этих долей градуса мы не сможем. В любом случае отсчетов 45' должно быть столько же, сколько отсчетов 15'.

Единственное объяснение, которое я смог придумать, основывается на ошибках при переписывании. Доля, обозначенная 45', на самом деле записывалась как 1/2+1/4 [4]). Случайный пропуск любого из слагаемых уменьшит число отсчетов 45' и увеличит либо число отсчетов 30', либо 15'. Но, по-видимому, никакая ошибка при переписывании не может увеличить число отсчетов 45'. В пользу такого объяснения говорит и тот факт, что среднее значение погрешности по широте уменьшится, если считать, что вместо некоторых отсчетов 15' в оригинале стояли отсчеты 45'. Я проверял это вычислениями [5]). Однако такому объяснению противоречит распределение отсчетов 50'. Это значение в оригинале записывалось как (1/2+1/3). Поэтому число отсчетов 50', так же как и число отсчетов 45', должно быть намного меньше, чем получается в соответствии с теоретическим рассмотрением возможного распределения. Но это не так (см. таблицу IX.6).

Подводя итоги изучению распределения широт, можно сказать, что распределение не указывает на использование двух или более инструментов или на участие двух или более наблюдателей. Распределение свидетельствует в пользу того, что мы имеем дело с однородным множеством данных, полученных с помощью круга, разделенного только на градусы. Доли градуса определялись на глаз. Отсчетов 45' по какой-то причине слишком мало. Удовлетворительного объяснения этому факту мы дать не смогли. Его нельзя объяснить и рассматривая предположение об использовании многих инструментов или о работе нескольких наблюдателей.

Долготы дают нам совсем иную картину. Никаким правдоподобным процессом наблюдений объяснить распределение дробей в долготах невозможно, независимо от того, использовался ли в наблюдениях один инструмент или несколько, проводил ли все эти наблюдения один и тот же человек или нет.

Отметим сначала, что отсчетов 45' в долготах вообще нет и только четыре отсчета 15'. Последнее число настолько мало, что его можно отбросить как результат ошибки при переписывании, и в дальнейшем я считаю, что отсчеты 15' и 45' в долготах не встречаются. Такой результат кажется совершенно необъяснимым, если долготы получены из измерений. Почему наблюдатель или наблюдатели, которые получили почти нормальное число отсчетов 15' и 45' в широтах, не записывают ни одной соответствующей дроби в долготах? Априори можно предположить, что градуировка на круге широт отличается от градуировки на круге долгот, но такое предположение неправдоподобно, А как мы увидим, оно и количественно расходится с распределением долей градуса.

Усредним число отсчетов 10', 30' и 50'. Это среднее значение равно 124. Усредним теперь число отсчетов 0', 20' и 40'; это среднее значение равно 217. Несоразмерность двух этих средних значений побудила Фогта написать следующее: «Я могу объяснить это расхождение... лишь предположением, что на астролябии Птолемея цена деления была равна трети градуса, а не шестой его части» [Фогт, 1925, столбец 41]. Фогт не заметил того, что распределение не подтверждает это предположение. Наоборот, распределение очень сильно ему противоречит.

Если бы предположение Фогта было правильным, то у нас получалось бы одинаковое число отсчетов 0', 20' и 40'. А у нас отсчетов 40' намного больше, чем 0' или 20'. Более того, отсчетов 40' больше, чем любой другой доли градуса. Отсчетов 40' на 67 больше, чем 20', а среднее квадратичное отклонение разницы по числу этих долей градуса равно √(179+246)=20,6. Если долготы получены из наблюдений, проведенных с помощью круга с любой градуировкой, то вероятность случайно получить здесь разницу 67 равна примерно 10^-3. Отсчетов 10' также намного больше, чем 50' (на самом деле 10' встречается почти столько раз, сколько раз встречаются 30' и 50', вместе взятые). А по предположению Фогта число отсчетов 10', 30' и 50' должно быть одинаковым. Разница между числом отсчетов 10' и 50' равна 80, а среднее квадратичное отклонение этой разности √(1.82+102)=16,8. Вероятность такого случайного события при любой градуировке круга примерно 10^-6. Вероятность получить одновременно оба неправильных распределения составляет примерно 1 шанс из миллиарда.

Если читатель позволит мне пренебречь такой крошечной вероятностью, то мы сможем с уверенностью сказать, что распределение долгот не может быть результатом наблюдения. Следовательно, долготы сфабрикованы, и большую часть подделки мы сможем восстановить по самому распределению. Такое распределение получается в том случае, если к множеству наблюденных значений прибавляли угол вида №40', где N некоторое целое. В этом случае значения отсчета, которые первоначально были 0', стали 40', и тогда становится понятно, почему у нас так много отсчетов 40'. Доли градуса, которые первоначально были равны 50', перешли в 30', и это объясняет слишком маленькое число отсчетов 30'. Так мы сможем количественно объяснить все распределение целиком, включая отсутствие 15' и 45', если считать, что долготы были сфабрикованы описанным выше образом.

Мы начали с предположения, что распределение долей градуса в широтах в таблице IX.6 позволяет определить, как наблюдатель или наблюдатели естественным образом разделяют интервал между двумя соседними отметками градусов. Таким образом, распределение долей в широтах и долготах должно быть примерно одинаковым. Это в высшей степени правдоподобное предположение. Конечно, первоначальное распределение долей градуса в долготах не точно такое, как в широтах. Для каждого значения следует ожидать разницы примерно на 10 или 20 дробей по числу случаев.

Таблица   IX.7

Первоначальное распределение долей градуса в долготах

 

Таблица IX.7 показывает, что же произошло. В последний столбец этой таблицы перенесено распределение долгот из таблицы IX.6. В столбце под названием «исходное множество» помещено распределение широт из таблицы IX.6. Мы предполагаем, что это и есть первоначальное распределение долгот. Теперь прибавим 40' к каждой исходной доле градуса [6]). Сначала не будем рассматривать доли 15' и 45' и получим распределение из столбца под названием «после прибавления 40', без долей 15 и 45'». Это распределение сравнительно хорошо согласуется с последним столбцом, за исключением числа отсчетов 0' и 20'. Здесь нужно вспомнить о некоторой статистической неопределенности в столбце под названием «исходное множество».

Рассмотрим теперь доли градуса 15' и 45' из «исходного множества». Отсчет 15' перейдет в 55', а 45'-в 25'. Но по нормам каталога появление долей 25' и 55' недопустимо. Птолемей должен был заменить эти дроби на ближайшие «допустимые» значения. Поэтому вместо «исходной» доли 15' будет записано либо 50', либо 0', а вместо 45' - либо 20', либо 30'.

Можно, конечно, строить различные предположения о том, в какую долю градуса Птолемей переводит 15' (после прибавления 40' получается 55'), в 50' или в 0', и переводит ли он 45' в 20' или же в 30'.Предположения такого сорта будут неубедительны, но, к счастью, в них и нет необходимости. Выбор, сделанный Птолемеем, позволяет определить прямая проверка. Мы видим, что без учета отсчетов 15' число значений 0'слишком мало, а вот число отсчетов 50' почти совпадает с их числом в каталоге. Значит, «исходные» отсчеты 15' перешли в 0'. Аналогичным образом можно установить, что «исходные» отсчеты 45' перешли в 20'. После перевода 15' и 45' в соответствующие доли градуса мы получаем распределение, выписанное в столбце под названием «после прибавления 40', с учетом 15' и 45'». Согласование этого столбца с распределением в звездном каталоге в высшей степени удовлетворительно.

Еще лучше, чем из таблицы IX.7, читатель может увидеть полученное согласование на рис. IX.8. На рис. IX.8, а сплошная линия, показывает распределение долей градуса в значениях широт. С точностью до статистических флуктуации таким же должно быть и распределение этих долей в значениях долгот; для каждой доли разумная величина флуктуации составит 15 или 20. Кружки, соединенные штриховой линией, показывают распределение долей в долготах из звездного каталога. На рис. IX.8, б сплошная линия показывает распределение, получающееся в результате только что описанного процесса подделки. Кружки и штриховая линия, как и на рис. IX. 8, а, показывают действительное распределение.

Рис. IX.8, а выглядит хаотически. Это показывает, что распределения по широтам и долготам имеют мало общего. Другими словами, долготы не являются результатом никакого наблюдательного процесса. А на рис. IX.8, б действительное распределение хорошо согласуется со сплошной линией. Это доказывает, что значения долгот сфабрикованы только что описанным способом.

Сейчас, пожалуй, подходящий момент подвести итоги тому, что мы узнали из изучения долей градуса, встречающихся в звездном каталоге Птолемея. За одним небольшим исключением мы сможем количественно объяснить распределение долей градуса с помощью трех вполне правдоподобных предположений. 1) Цена деления и на круге широт, и на круге долгот, которыми пользовался наблюдатель, равна одному градусу. Дробные части градуса наблюдатель определял «на глаз». Он не пытался оценить дроби, меньшие 1/6 градуса. 2) Широты, полученные из наблюдений, без изменений внесены в звездный каталог (конечно, при записи могли быть допущены ошибки). 3) Долготы были изменены. К результатам наблюдения прибавляли некоторое целое число градусов плюс 40'.

Множество долгот в звездном каталоге, по всей вероятности, не могло быть получено из наблюдений. Следовательно, Птолемей долготы сфабриковал, хотя и уверяет, что измерил их. И подделать их он должен был только что описанным способом.

 

Рис. IX.8. Распределение дробных частей градуса в звездном каталоге Птолемея. На рис. IX. 8, а сплошная линия показывает распределение дробей в координатах широты. С точностью до нормальных статистических флуктуации распределение дробей в долготах должно быть таким же. Кружки, соединенные штриховой линией, показывают действительное распределение дробей в долготах. На рис. IX. 8, б сплошная линия показывает распределение дробных частей в долготах, получающееся в том случае, если Птолемей подделывал свой каталог так, как описано в тексте. Кружки и штриховая линия снова показывают действительное распределение. Ломаные линии на рис. IX, 8, а совершенно не похожи друг на друга, а на рис. IX. 8, б они почти точно совпадают. Следовательно, Птолемей сфабриковал координаты

 

На основании изучения одних долей градуса мы не можем исключить возможности того, что подделка проведена не Птолемеем, а его преступным помощником. Можно допустить, что Птолемей велел своему гипотетическому помощнику провести наблюдение именно так, как, по его утверждению, и было сделано. Можно предположить, что помощник обманул Птолемея, передав ему вместо результатов измерения результаты подделки. Но измерение координат звезд - процесс длительный, и Птолемей не мог этого не знать. Трудно себе представить, что за все то время, пока помощник, по мнению Птолемея, был занят этими измерениями, ничто не вызвало у Птолемея подозрений. Вполне возможно, что как-нибудь ночью Птолемей мог неожиданно появиться в обсерватории. Например, он хотел показать ее своему другу. И Птолемей, вопреки ожиданию, не застал бы своего помощника за проведением измерений [7]).

Само по себе распределение долей градуса не может сказать нам, какое целое число градусов Птолемей прибавлял к первоначальной долготе. Но это мы сразу получаем из анализа других обстоятельств, коль скоро известно, что дробная часть равна 40'. Исходный каталог составлен около -130 г., поэтому прибавляемая величина равна 2°40'. Если бы эпоха каталога сильно отличалась от -130 г., то такого смещения долгот не получилось бы. Предположим, например, что Птолемей прибавлял 1°40'. Птолемей считал прецессию равной 1° в столетие, поэтому эпохой исходного каталога был бы не -130 г., а -30 г. Между -30 г. и +137 г. (эпоха подозрительного каталога Птолемея) действительная величина прецессии была близка к 2°20', т. е. смещение составило бы только 40'. На самом же деле смещение немного больше 1°.

Возможно, на эпоху около -130 г. был составлен и какой-то другой каталог, помимо гиппархова. Но насколько я знаю, ничто не говорит нам о существовании такого каталога [8]). Кроме того, эпоха такого каталога отстояла от эпохи каталога Гиппарха не больше, чем на 15 лет. Предположим, например, что этот каталог был составлен на - 113 г. Эта эпоха отстоит от эпохи Птолемея на 2 1/2 столетия, т. е. Птолемею нужно было прибавлять не 2°40', а 2°30' к исходным долготам. Но дробная часть, как мы знаем, равнялась 40'.

Читатель может спросить, насколько точно мы знаем, что дробная часть равнялась 40', а не какому-нибудь другому значению, скажем ƒ, где ƒ - кратное 10' [9]). В ответ можно сказать, что мы в этом практически уверены. Самое лучшее указание на значение дробной части прибавляемой величины дает нам максимум окончательного распределения долей градуса. По существу установлено, что в исходном распределении преобладает отсчет 0'. Поэтому можно считать, что после добавления преобладает значение ƒ. Следовательно, ƒ равно 40'. На это указывают и другие факты. Например, тот факт, что меньше всего отсчетов 30'. Очень "интересное свидетельство дает «судьба» тех значений, которые первоначально оканчивались на 15' и 45'. Если бы Птолемей прибавлял величину с долей градуса, равной 30', то ему не пришлось бы, как он это делает, обходиться без значений 15' и 45'. Но даже если в оригинале по некоторой причине и не было чисел 15' и 45', то мы все равно знаем, что ƒ не могло быть равно 30'. Ведь иначе распределение в каталоге имело бы максимум при значении доли градуса 30', а на самом деле у распределения для этого значения резко выраженный минимум.

Птолемей, несомненно, был бы сильно удивлен, если бы узнал, как много стало известно о его подделке из изучения одних лишь дробей в звездном каталоге.